第三章习题详解1・沿下列路线计算积分J；' z2dz o1）自原点至3 + i的直线段；解：连接自原点至34-1的直线段的参数方程为：z =（3+》0<r<l dz =（3 + i）dt2）自原点沿实轴至3,再由3铅直向上至3 +八解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：z = t 0</<1 dz = dt3 1=-33 «3连接自3铅直向上至3 +,的参数方程为：z = 3 + ir O<Z<1 dz = idt J J z2dz = £(3 + it)2 idt = -(34-17)3=-(3 + i)3彳" 3 n 3・・・ f z2dz = £t2dt 4- £(3 + it)2id/ = 133 4-1(3 4-1)3 - i33 = |(3 + i)33)自原点沿虚轴至i,再由i沿水平方向向右至3+i。

解：连接自原点沿虚轴至i的参数方程为：z = it 0</<1 dz = idtJ：Z2dz = J；(it)2 idt = | (i/)3= * 尸连接自i沿水平方向向右至3 + i的参数方程为：z = t^i 0<^<1 dz = dtr*edz=jo edz+广eaz=y+敦+厅-|/3=|（1+厅2.分别沿y =兀与y =兀2算出积分J；'（兀2 + iy^dz的值。

解：•/ j = x x2 + iy = x2 + ix ••• dz = (1 + i)dx・・・『(x2 + iy)dz = (1+ (x2 + ix)dx = (1 +•/ y = x2A x2 + iy = x2 4- ix2 = (1 + i)x2:. rfz = (1 + ilx)dxf 衣=［（3+03&二（3+讥♦3+i0=(3 + 厅0 d^ed Z=[\2dt=护而（W 宙討…T + 一 11.1.11 5. i = 1—i3 3 2 26 6/(z) =1 _ 1 z 2+2z + 4~ (z + 2)2在c 内解析，根据柯西一古萨定理,$匹J z 2 + 2z + 4/. £1+，(x 2+ iy)dz = (1 + /)£ * (1 + ilx)dx = (14-彳+ 设/(z)在单连通域〃内处处解析，C 为B 内任何一条正向简单闭曲线。

问^Re[/(z)]rfz = O,Cflm[f(z)]dz = O 是否成立？如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。

c 不成立。

例如：f(z) = z ， C ： z = “"，OSMv;rf Re[/(z)]rfz = J ：" cos(cos z?+ isint?) =C•在|z| = 2上,z = 2严=J o ―—d (2e l^)= £ 2诃〃 =[,2屈/= 4加 c A ° 2 °z =4zl ~ it?j-^dz = f 三—〃(4 严)=f 4如=[i4t 疳=8m 试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？ C 是正向的圆周z=l 。

/(£ = 丄 在C 内解析，根据柯西一古萨定理，f-^ = 0z — 2 ’ z — 2$空£ / +2z + 42 、 .3丄严.4 —X 十z — Xi 4f Im[/(4kz =『sin c-n利用在单位圆上？二丄的性质，及柯西积分公式说明Z其中C 为正向单位圆周2=1。

f zdz = #—-—dz = 2 时(0)= 2 加C C 2一 °it> C z在|z| = 4 ±, z = 4ec其中C 为止M 圆周:2=2；沿指定曲线的正向计算下列各积分:i ------ dz , C : z-2 = 1并-2乙=2在(7内，/(z)=e z在C 解析，根据柯西积分公式：［~^dz = 2me 2 c z ~2z-a =az = a 在C 内，/(" =」一在C 解析，根据柯西积分公式：z + aiz -a-2心|izi乙z = i 在C 内，/(z) = -^在C 解析，根据柯西积分公式：[-f —dz = [1±^dz = -dz /(z) = —!—在c 内解析，根据柯西一古萨定理，f Ccoszcoszc dz/(z) = 1在C 内解析，z 0=-在C 内，= 2砒一Z~2j )ze z dz cf(z)=z.e z 在C 内解析，根据柯西一古萨定理，fze z dzdz(z + 2) *f(z) = 7——在C 内解析，z 0=-在C 内，f(z + 2) 2{dz/ ■、i 、(z + 2)=17tif — = 2 加匕丿2+2f ^ + a 2dz = 7ti c z ~ ~acoszz + i J c z +1 J c z-i e兀)飞4z )在c 解析,根据柯西-古萨定理：f(-釦一1)"j>z 3 coszdz, C :为包H z = 0的闭曲线 c /(z)= z 3 cosz 在 C 解析，z = 0在C 内，/(z) = sinz 在C 解析，根据柯西积分公式：f 聖乞衣=2加sin0 = 0 r Zz = 0在C 内，/(z)=e z 在C 解析，根据高阶导数公式：[^dz = — f ⑷(0)=弐 £ 匸 4!4!计算下列各题：「3加 j[e dzz = 3不在C 内,/(z) = ^^在C 解析，根据柯西一古萨定理: z-3根据柯西一古萨定理：cos zdz = 0cz = i 在 C 内，/(z) = 就F)在c 解析’根据柯西积分公式：帚瓠+ 4)/(z) = sinz 在C 解析，根据高阶导数公式:“f 在C 内,y chizdz ；6lf/n 2sin zdz ； J-加m•=加 -- sh27T“2£ z sin zdz = -£ zd cos z = -[z cos z]J + £ cos zdz = - cos 1 + sinl[(z - i)e'z dz = -[ (z - i)de'z = -[(z -i)e'z ]； + J ； e'z dz = (1-i )Q -「= iedz = $— dz + f —-—dz = 2 加(4 + 3)= 14 加 z +1 iz + 2ia ■Hi"其中为正向）;/（Z ） = ^2H 在所给区域是解析的，根据复合闭路定理:Z『3加 j| e 2z dz =-e 2zJ -加[2 J3加 1mm{(z +決-D dZ= f "fc 菩+f 善帑边=如2if 甞衣，（其中c 「C=C]+（?2 2z =2为正向，C 2: z =3为负向）;b c 血3zdz =V=3k0 一吟 J-mJ 一加f 上率dz （沿1到i 的直线段）。

COS Z f 呼边 JI COS z=((1 + tgz)dtgz =计算下列积分:11 1tgz + -tg 2z =tgi + -tg 2i-tgl--tg 2\3 ) d ---lz + 1 z + 2i 丿 必，（其中C ： z =4为正向）;------- 1 -------- 七 + 1 z + 2i) C=Cj+C 2证明：因为/«)=在D 内解析，故积分莎 〃了与路径无关，取从原点沿实轴到1,再从1在所给区域内，/(z) =」一有一孤立奇点，由柯西积分公式：= z-iJc z-i——dz,(其中a 为问工1的任何复数，C ： c\z-a\解：当|z| > |a|, /(z)=. e v 在所给区域内解析，根据柯西一古萨基本定理：L e、卫=0(z-a)i{z-a)z a _•当|z| < |«|, f(z.)=e z 在所给区域内解析，根据高阶导数公式：f. e ^dz = —e a =e a m c (z - a) 2! 10.证明：当C 为任何不通过原点的简单闭曲线时，Jz = 0oC 2证明：当C 所围成的区域不含原点时，根据柯西一古萨基本定理：衣=0； r Z当C 所围成的区域含原点时，根据高阶导数公式：fgdz = 2加厂(0) = 0； c Z11・下列两个积分的值是否相等？积分2)的值能否利用闭路变形原理从1)的值得到？为什么？ 1) f -dz2)-dz IzH za —A —i 秒解：1) f -dz=2) $ 2虫=汐衍》=o岸尹h 2严J =4Z J 。

4严由此可见，1)和2)的积分值相等。

但2)的值不能利用闭路变形原理从1)得到。

因为/(z) = -在 Z 复平面上处处不解析。

12. 设区域D 为右半平而，z 为D 内圆周忖=1上的任意一点，用在D 内的任意一条曲线C 连接原点与Z ，证明Re 比寺叫呼［提示:可取从原点沿实轴到1，再从1沿圆周心到z 的曲线作 为C 。

解:5)Z = 1为正向)。

f Z — = f —dx^rC —— de^ = arctgx? 4-di}Jol + ?2 ， Jo 14- X 2Jo l + 护"loJo 1 + ^2"= -4-1「曲 1 dQ =艺 + i 「2 sec 斑 t?・・.Re ［「dA =-4 Jo 严 + 严 4 Jo卩。

1 +了2、」413. 设C|和C2为相交于M 、N 两点的简单闭曲线，它们所围的区域分别为Q 与B2。

与的公共部分为B o 如果/(z)在Q - B 与E - B 内解析，在C^C 2上也解析,证明：f f(z)dz = j> f(z)dz 。

Gc 2证明：如图所示，/(“在d —B 与内解析，在C 「C2上也解析，由柯西一古萨基本定理有:打(z)dz = 0 打(z)dz = 0=> 打(z)dz= 打(诳NOMP\NMRNP.MNOMP、NMRNP.M・・・ j f(z)dz+ J /(z)rfz = J/(z)〃z+ j f(z)dzNOMMP X NMRNNP 2M=> “(z)/z - J f(z)dz = j f(z)dz- j f(z)dzNOMNP 2MMRNMP X Na J /(z)rfz+ j f(z)dz = J/(z)dz+ j f(z)dzNOMMP 2NMRNNP t M14. 设C 为不经过a 与-a 的正向简单闭曲线，a 为不等于零的任何复数，试就a 与-。

跟C 的不同位置，计算积分f 2 ' 2衣的值。