第四章电磁场与物质的共振相互作用1静止氖原子的4223P S →谱线中心波长为632.8nm ，设氖原子分别以0.1c 、0。

4c 、0。

8c 的速度向着观察者运动,问其表观中心波长分别变为多少？解：根据公式νν=c λν=可得：λλ=,分别得到表观中心波长为： nm C 4.5721.0=λ，0.4414.3C nm λ=，nm C 9.2109.0=λ2．设有一台迈克尔逊干涉仪,其光源波长为λ。

试用多普勒原理证明，当可动反射镜移动距离L 时，接收屏上的干涉光强周期地变化2/L λ次。

证明:如右图所示,光源S 发出频率为ν的光，从M 上反射的光为I '，它被1M 反射并且透过M ，由图中的I 所标记；透过M 的光记为II '，它被2M 反射后又被M 反射,此光记为II 。

由于M 和1M 均为固定镜，所以I 光的频率不变，仍为ν.将2M 看作光接收器，由于它以速度vS2M (1)vcνν'=+运动，故它感受到的光的频率为：因为2M 反射II '光，所以它又相当于光发射器，其运动速度为v 时，发出的光的频率为这样，I 光的频率为ν，II 光的频率为(12/)v c ν+。

在屏P 上面，I 光和II 光的广场可以分别表示为：2(1)(1)(12)v v v c c cνννν'''=+=+≈+因而光屏P 上的总光场为光强正比于电场振幅的平方，所以P 上面的光强为它是t 的周期函数,单位时间内的变化次数为由上式可得在dt 时间内屏上光强亮暗变化的次数为(2/)mdt c dL ν=因为dt 是镜2M 移动dL 长度所花费的时间,所以mdt 也就是镜2M 移动dL 过程中屏上光强的明暗变化的次数。

对上式两边积分，即可以得到镜2M 移动L 距离时，屏上面光强周期性变化的次数S式中1t 和2t 分别为镜2M 开始移动的时刻和停止移动的时刻；1L 和2L 为与1t 和2t 相对应的2M 镜的空间坐标,并且有21L L L -=。

得证。

3。

在激光出现以前，86Kr 低气压放电灯是很好的单色光源。

如果忽略自然加宽和碰撞加宽，试估算在77K 温度下它的605.7nm 谱线的相干长度是多少,并与一个单色性8/10λλ-∆=的氦氖激光器比较。

02cos(22)cos(2)I II v vE E E E t t t c cπνπνπν=+=+021cos 22v I I t c πν⎧⎫⎡⎤⎛⎫=+⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭22v dLm c c dtνν==2211212222()t L t L LS mdt dL L L L c c c νννλ===-==⎰⎰解:这里讨论的是气体光源，对于气体光源,其多普勒加宽为1122700222ln 27.1610D KT T mc M ννν-⎛⎫⎛⎫∆==⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭式中，M 为原子（分子)量,271.6610(kg)m M -=⨯。

对86Kr 来说，M =86,相干长度为127110277.161060571086 89.5cm7.161077c Dc M L T λν---⎛⎫==⎪∆⨯⎝⎭⨯⎛⎫=⨯= ⎪⨯⎝⎭对于单色性8/10λλ-∆=的氦氖激光器，其相干长度为263.28m //c c c L c λνλλλλ====∆∆∆可见，氦氖激光器的相干长度要比86Kr 低气压放电灯的相干长度要大得多。

4．估算2CO 气体在室温（300K)下的多普勒线宽D ν∆和碰撞线宽系数α。

并讨论在什么气压范围内从非均匀加宽过渡到均匀加宽。

(提示2CO 分子间的碰撞截面18210Q m -≈）解：2CO 气体在室温(300K ）下的多普勒线宽D ν∆为11822770673103007.16107.161010.61044 5.310HzD T M νν---⨯⎛⎫⎛⎫∆=⨯=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭=⨯2CO 气体的碰撞线宽系数α估算，根据2CO 气体的碰撞线宽与气压p 的关系近似为L p να∆=可知，气体压强为1a p p =时的碰撞线宽约等于碰撞线宽系数。

再由1L Lνπτ∆=和1Lτ=2237.2610(/)n p T m -=⨯可估算出其值约为 41KHz/Pa α≈当L D νν∆=∆时，其气压为735.3101290Pa 4110Dp να∆⨯===⨯所以，当气压在1290Pa 附近时以多普勒加宽为主，当气压比1290Pa 大很多时，以均匀加宽为主。

5．氦氖激光器有下列三种跃迁，即243S -2P 的632。

8nm ，242S -2P 的1.1523μm 和243S -3P 的3.39μm 的跃迁.求400K 时它们的多普勒线宽，分别用GHz 、μm 、-1cm 为单位表示.由所得结果你能得到什么启示？解：多普勒线宽的表达式为12707.1610D c T M νλ-⎛⎫∆=⨯ ⎪⎝⎭(单位为GHz)1227007.1610D D T c M λλνλ-⎛⎫∆=∆=⨯⨯ ⎪⎝⎭（单位为μm ) 1270117.1610D D T c M νλλ-⎛⎫∆⎛⎫∆==⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，400K 时,这三种跃迁的多普勒线宽分别为： 243S -2P 的632。

8nm 跃迁：1.52GHz D ν∆=62.0310μm D λ-∆=⨯211 5.0710cm D λ--⎛⎫∆=⨯ ⎪⎝⎭242S -2P 的1.1523μm 跃迁： 0.83GHz D ν∆=63.6910μm D λ-∆=⨯211 2.7710cm D λ--⎛⎫∆=⨯ ⎪⎝⎭243S -3P 的3.39μm 跃迁： 0.28GHz D ν∆=51.0910μm D λ-∆=⨯3119.3310cm D λ--⎛⎫∆=⨯ ⎪⎝⎭由此可以看出，当提及多种跃迁谱线的多普勒线宽时，应该指出是以什么作为单位的。

6．考虑某二能级工作物质，2E 能级自发辐射寿命为s τ，无辐射跃迁寿命为nr τ.假定在t=0时刻能级2E 上的原子数密度为2(0)n ，工作物质的体积为V ，自发辐射光的频率为ν,求：（1)自发辐射光功率随时间t 的变化规律;(2)能级2E 上的原子在其衰减过程中发出的自发辐射光子数；(3)自发辐射光子数与初始时刻能级2E 上的粒子数之比2η，2η称为量子产额。

解：（1）在现在的情况下有 可以解得：11()22()(0)s nrtn t n eττ-+=可以看出，t 时刻单位时间内由于自发辐射而减小的能级之上的粒子数密度为2/s n τ，这就是t 时刻自发辐射的光子数密度，所以t 时刻自发辐射的光功率为：(2）在t dt →时间内自发辐射的光子数为:所以(3）量子产额为：无辐射跃迁导致能级2的寿命偏短，可以由 定义一个新的寿命τ，这样7．二能级的波数分别为118340cm -和12627cm -，相应的量子数分别为21J =和12J =,上能级的自发辐射概率12110A s -=,测出自发辐射谱线形状如图4。

1所示。

求（1)中心频率发射截面21σ； （2)中心频率吸收截面12σ。

222()()s nrdn t n ndt ττ=-+11()22()(0)s nrtssn h VP t h V n eττννττ-+==2sn dn Vdtτ=11()22200()(0)(0)|1111()s nr t ss s s nr s nrn t n Vn V n Vdt e τττττττττ-++∞+∞-===++⎰22111(0)()ss nrn n V ητττ==+111snrτττ=+2sτητ=（能级简并度和相应量子数的关系为221121,21f J f J =+=+，可设该工作物质的折射率为1.）解。

根据线型函数0(,)g νν的定义，图中的K 与线型函数最大值0(,)o g νν对应,利用1()d c d νλ=⨯线型函数归一化条件0(,)1g d ννν+∞-∞=⎰的意义对应图线下方面积为1，8.根据4.3节所列红宝石的跃迁几率数据，估算13W 等于多少时红宝石对694.3nm λ=的光是透明的.（红宝石,激光上、下能级的统计权重124f f ==，计算中可不计光的各种损耗.)解：该系统是一个三能级系统，速率方程组为其中（II ）式可以改写为因为32S 与21A 相比很大，这表示粒子在3E 能级上停留的时间很短，因此可以认为3E 能级上的粒子数30n ≈，因此有3/0dn dt ≈。

这样做实际上是将三能级问题简化为二能级问题来求解.由（I ）式可得: 代入式（V)得： 由于 所以3113332312221210221213321123() (I)()(,)() (II)l dn nWn S A dt dn f n n vN n A S n S dt f n n n n σνν=-+=---++++=2212101 (III)()(,) (IV)l l l Rl dN N f n n vN dt f σνντ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=--⎪⎩2332121222121()() (V)dn n S B n n n A S dt ρ=+--+11333231n W n S A =+1132321212*********()() n W dn S B n n n A S dt S A ρ=+--++21dn dndt dt=-红宝石对波长为694.3nm 的光透明，意思是在能量密度为ρ的入射光的作用下,红宝石介质内虽然有受激吸收和受激辐射，但是出射光的能量密度仍然是ρ。

而要使入射光的能量密度等于出射光的能量密度,必须有12()n n -为常数，即21//0dn dt dn dt -=，这样式(VI)变为：该式应该对于任意大小的ρ均成立,所以只有1212()0B n n ρ-=,即12n n =时才可以。

这样由上式可得：1321213132()(1/)W A S A S =++由于210S ≈,所以这个时候红宝石对694.3nm λ=的光是透明的.12．短波长(真空紫外、软X 射线）谱线的主要加宽机构是自然加宽。

试证明峰值吸收截面20/2σλπ=。

证明：峰值吸收截面为2122204Hv σπννA =∆而 12122H νπτπA ∆==00v λν= 所以代入可以得到:20/2σλπ=得证。

13．已知红宝石的密度为33.98g/cm ，其中23Cr O 所占比例为0.05%（重量比），在波长为694.3nm 附近的峰值吸收系数为0.4cm —1,试求其峰值吸收截面(T=300K ）。

解:设23Cr O 的分子量为M ，阿伏加德罗常数用N A 来表示,设单位体积内的3rC +数为0n 113213212122212132312()() (VI)nW dn dn S B n n n A S dt dt S A ρ⎡⎤-=+--+⎢⎥+⎣⎦113321212*********()()0nW S B n n n A S S A ρ+--+=+5331132131327310(1/)0.310(1)0.31810s 0.510W A A S -⨯≈+=⨯⨯+=⨯⨯,考虑到300K 的时候，2100,n n n ≈≈，则有A12331932 3.980.05%N M2 3.980.05% 6.02210 cm 5221631.5810cm n ---⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯+⨯=⨯所以峰值吸收截面为（峰值吸收系数以m α来表示）212191212020.4cm 1.58102.5310cm mmn n n αασ--=≈=-⨯=⨯14．有光源一个，单色仪一个，光电倍增管及电源一套，微安表一块，圆柱形端面抛光红宝石样品一块，红宝石中铬粒子数密度1931.910/cm n =⨯，694。