第三单元 Ch10 定积分
3.2.2 可积函数类
数学分析
在证明可积性问题时,
n
有多种方法可使 ixi . i 1
常见的有三种方法,下面分别作出介绍.
第一种方法: 每个
i
ba
,
从而
n
i Δxi
i 1
b
a
n
i 1
Δxi
.
例如, 在 [a, b] 上一致连续的 f ,便属于这种情形.
定理10.4（连续必可积） 若 f 在 [a, b] 上 连续，则 f 在 [a , b] 上 可积.
若f 在 [a, b] 上有界，且只有有限多个间断点，则 f 在 [a, b] 上可积.
证 不妨设 f 在 [a, b] 上 只有一个间断点, 且为 b. 0, 取 满足 0 ( b a). 2( M m)
其中 M 与 m 分别为 f 在 [a ,b ] 上的上确界与下确界.
数学分析
22
.
由可积准则, f 在 [a,b] 上可积.
数学分析
例1 证明黎曼函数
R(
x)
1 q
,
x
p q
( p, q 互素 ),
0 , x 0, 1 及 (0, 1) 中的无理数
在 [0, 1] 上可积,且
1
R(x) dx
0.
0
证
0,
在[0,1]中满足 1 q2
的有理数 r
p q
只有有限多个, 设它们为 r1 ,r2 ,,rk .
对[0,1]作分割 T : 0 x0 x1 x n 1,
使
T
2k
.
T 中含 {r1,
r2 ,,rk}
的小区间至多有
2k 个,记为 i.
数学分析
因此这些小区间长度之和为
Δ xi
2k
2k
.
T 中不含 { r1, r2,,r k } 的区间记为{ i}.
由于在
i
上
0
R( x)
, 2
于是
i
n
n
于是 i f (xi ) f (xi 1) f (b) f (a).
i 1
i 1
因此, 若
T
f (b)
,则 f (a)
n
n
iΔ xi T i
i 1
i 1
f (b)
f (b)
f (a)
f (a)
.
数学分析
第三种方法：若 iΔxi iΔxi iΔxi,
在 iΔxi 中 ,
i
2(b a)
,
而在 iΔxi中，
xi
2( M
m)
,
其中 M m 是 f 在 [a ,b ] 上的振幅.
从而 i M m , i 1, 2,,n.
于是
i xi ixi ixi
(b
2(b a)
a)
2( M m)
(M
m)
.
数学分析
若 f 在 [a, b] 上 有界,且只有有限多个不连续点， 此时可用第三种方法证明 f 可积. 定理10.6（有限个间断点的有界函数必可积）
设 f 在[b ,b]上的振幅为, 则
(
M
m
)
2(
M
m)
2
.
由于 f 在 [a , b ] 上连续, 则存在分割
T : a x0 x1 ... x n1 b ,
使
T
i xi
. 2
令 T : a x0 x1 ... x n b, 则
ixi
T
T
i xi
2
.
从而
数学分析
ixi
i
x
i
i
x
i
1 2
明了 R( x) 的可积性.
由于已证得 R( x) 可积, 而且无理数具有稠密性, 因此可取 i [ xi 1, xi ] (i 1, 2, , n) 皆为无理数, 从而
1
R( x ) d x
0
lim
T 0
n
R( i) Δx i
i 1
0.
数学分析
,
ba
从而
n
i Δxi
i 1
ba
n i 1
Δxi
.
数学分析
n
第二种方法：若 i 有界，即M , 对任意分割，
i 1
n
i M,
i 1
则当 || T || 时,
M
n
i xi T
i 1
n
i
i 1
M
M
.
n
例如, f 在 [a, b] 上单调时,有 i f (b) f (a) , i 1
数学分析
证 f 在 [a, b] 上连续， 从而在[a, b]上一致连续.
于是 0, 0, x, x[a, b],
若 x x , 则
f ( x) f ( x) .
ba
因此当 [a ,b] 上的分割 T 满足 T 时,
i Mi mi
sup{
f ( x) f ( x) ，x, x[ x i1, x i] }
从而可证 f 在 [a, b] 上可积.
定理10.5（单调必可积）
若 f 是 [a, b] 上的单调函数,则 f 在[a, b] 上可积.
数学分析
证 不妨设 f 是非常值的增函数，则对任意分割
T : a x0 x1 ... x n b,
i f ( xi ) f ( xi 1), i 1, 2, , n,