2017-2018学年第1学期考试试题
课程名称 高等数学A1、B1 任课教师签名 王志宏等
出题教师签名 题库抽题 审题教师签名
考试方式 （闭）卷 适用专业 全校17级 工科本科各专业 考试时间 （120）分钟
一、判断题（共10分，每题2分） 1. 2
arctan lim π
=
∞
→x x . （ ）
2. 当0→x 时x x tan 1sin 1--+与x arcsin 是等价无穷小. （ ）
3. 函数在某点可导，则必在该点连续. （ ）
4. 若c x F dx x f +=⎰)()(，则c x F dx x f +=
⎰)2(2
1
)2(. （ ） 5.
()⎰b a
dx x f 表示以曲线()x f y =为曲边的曲边梯形的面积. （ ）
二、填空题（共15分，每小题3分）
1. 若22
lim 2
22=--++→x x b
ax x x , 则a = b = . 2. 设)(x f 可导，且满足()()
12311lim 0
-=--→x
x f f x ，则)1(f '= .
3. 设()x x
x f 2cos 2
sin
+=，则()()π27f = .
4. 若C x dx x
x f +=⎰
arctan )
(，则⎰
=dx x f )( . 5.
(2
1
1
x dx -+
⎰
= .
三、选择题（共15分，每小题3分，在每小题给出的四个选项内，只
有一项是符合题目要求的） 1．设当0→x 时,()()x x βα,都是无穷小()()0≠x β,则当0→x 时,下列表达式中不一定为无穷小的是 （ ）
A 、()()()x x βα⋅+1ln
B 、()()x
x x 1sin 22
βα
+
C 、 ()()
x x βα2 D 、()()x x βα+
2．设()x ϕ在a x =连续，()()x a x x F ϕ-=，则（ ）
A 、)(x F 在a x =点间断
B 、)(x F 在a x =点连续但不可导
C 、)(x F 在a x =点可导
D 、)(x F 在a x =点的可导性与()a ϕ有关 3. 在区间]1,0[上，满足罗尔定理全部条件的函数为 （ ）
A 、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
≥-<=21
12
1)(x x x x x f B 、 ⎩⎨⎧≥<=111)(x x x x f
C 、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<-=1411)2
1()(2x x
x x x f D 、⎩⎨⎧≥<=101)(2x x x x f
4. 设)(x F 为偶函数)(x f 的一个原函数，则 （ ） A 、)()(x F x F -= B 、c x F x F +-=-)()( C 、c x F x F +-=)()( D 、)()(x F x F -=-
5. 下列命题中不正确的是 （ ）
A 、若0x 为)(x f 的可导的极值点，则0)('0=x f ；
B 、若0)('0=x f ，0x 一定是)(x f 的极值点；
C 、连续函数从左到右,单调性改变的点是极值点，凹凸性改变的点
))(,(00x f x 是拐点；
D 、若0)(''0=x f ，则))(,(00x f x 不一定为曲线的拐点.
四、计算题（共48分，每小题6分）
1. ()()3
2
d cos ln lim
x
t
t t x
x ⎰+→.
2. ⎪⎭⎫
⎝
⎛--→x x x ln 111lim 1. 3. x x
e e
y cos cos +=, 求y '.
4. 求由参数方程2ln(1)
arctan x t y t t
ì=+ïí=-ïî所确定函数的二阶导数2
2dx y d . 5. 设1
2
+=
x x y ， 求dy .
6. 计算不定积分
⎰
-+.922
dx x
x
7. 设21,0
()ln(1),0
x x f x x x ⎧+<=⎨+≥⎩，计算31
(2)d f x x -⎰.
8. 求⎰
∞+++0
2
8
4x x dx
.
五、综合题（共12分，每小题6分）
1.设函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，且()0>x f ，证明方程
()()
01
=+⎰
⎰
dt t f dt t f x
b
x a
在开区间()b a ,内有唯一的根。

2. 设有抛物线2
:(0,0)L y a bx a b =->>，试确定常数a ，b 的值，使得
（1）L 与直线1y x =-+相切；
（2）L 与x 轴所围图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积最大。