函数的定义域、值域函数定义域、值域对于正实数,记M 为满足下述条件的函数f(x )构成的集合:且>,有-(-)<f ()-f ()<(-).下列结论正确的是(A )若(B )(C )(D )>【解析】对于,即有,令,有,不妨设,,即有,因此有,因此有.设函数在内有定义.对于给定的正数K ,定义函数取函数。
若对任意的,恒有,则【 D 】A .K的最大值为2B .K 的最小值为2212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-2121()()f x f x x x αα--<<-2121()()f x f x k x x-=-k αα-<<1()f x M α∈2()g x M α∈11,f k αα-<<22g k αα-<<1212f g k k αααα--<+<+12()()f x g x Mαα++∈()y f x =(,)-∞+∞(),(),(),().K f x f x K f x K f x K ≤⎧=⎨>⎩()f x =2xx e ---(,)x ∈-∞+∞()K f x =()f x ααRxx ∈∀21,2x 1x α2x 1x 2x 1x α2x 1x 2121)()(,)(,)(αααα⋅∈⋅∈∈M x g x fM x g M x f 则2121)()(,0)()(,(ααααM x g x f x g M x g M x f ∈≠∈∈则且)若2121)()(,)(,)(αααα+∈+∈∈M x g x f M x g Mx f 则若121,)(,)(ααα且若M x g M x f ∈∈212)()(ααα-∈-Mx g x f ,则C .K 的最大值为 1D .K 的最小值为1解: 由恒成立知,故K 有最小值,可排除A,C,又由直觉思维得在时,,排除B,因此选D.12.设函数的定义域为,若所有点构成一个正方形区域,则的值为A . B . C . D .不能确定(12)用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值设f (x )=min{, x+2,10-x} (x 0),则f (x )的最大值为(A )4 (B )5 (C )6 (D )7【解析】画出y =2x ,y =x +2,y =10-x 的图象,如右图,观察图象可知,当0≤x ≤2时,f (x )=2x ,当2≤x ≤3时,f (x )=x +2,当x >4时,f (x )=10-x ,f (x )的最大值在x =4时取得为6,故选C 。
.下列集合到集合的对应是映射的是()()K f x ≥min()K f x ≥0x =()22011xf x x e-=--=--=2()0)f x ax bx c a =++<D (,())(,)s f t s t D ∈a 2-4-8-2x≥A B f(A ):中的数平方;(B ):中的数开方;(C ):中的数取倒数; (D ):中的数取绝对值;已知函数的定义域是R,则实数a的取值范围是( ).A .B . C. D. 设,函数的图像可能是函数y =的值域为( )(A )(B )(C)(D )设,是二次函数,若的值域是,则的值域是( )A. B.C.D. C.设,则的定义域为 (B )bAaoyxbBaoyxbCaoyxbDa oyx{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-A {}{}f B A ,1,0,1,1,0-==A ,,A Z B Q f ==A ,,A R B R f+==A 24)(23++-=ax axax x f ]2,21[)2,0(],2[+∞21,0[b a <)()(2b x a x y --=11--+x x (2,∞-(]2,0[)+∞,2[)+∞,0()⎩⎨⎧<≥=1,1,2x x x x x f ()x g ()[]x g f [)+∞,0()x g (][)+∞-∞-,11, (][)+∞-∞-,01, [)+∞,0[)+∞,1()xx x f -+=22lg⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛x f x f 22A. B.C.D.函数y =f ( x )的图象与直线x =1的公共点数目是 ()(A)1(B )0(C )或1(D )1或2已知二次函数的值是 ( )A .正数B .负数C .零D .符号与有关设函数表示不超过实数的最大整数,则函数的值域为______________.已知:为常数,函数在区间上的最大值为,则实数_____.定义在上的函数满足,当时,,则当时,函数的最小值为()()4,00,4 -()()4,11,4 --()()2,11,2 --()()4,22,4 --())1(0)(0)(2+<>++=m f m f a a x x x f ,则若a ()(0,1),[]1xxa f x a a m a =>≠+m 11()[()][()]22g x f x f x =-+--t 2|2|y xx t =-+[0,3]3t =R )(x f )(2)2(x f x f =+]2,0[∈x xx x f 2)(2-=]2,4[--∈x )(x f_______________.答案:函数的最大值为___________.若一系列函数的解析式相同,值域相同但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么函数解析式为,值域为的“孪生函数”共有 个. 答案:9已知函数,则实数m的取值范围是 答案:已知函数,分别计算和的值,并概括出涉及函数和的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式:___________________________________________.答案:对于函数(),若存在闭区间,使得对任意,恒有=(为实常数),则实数的值依次2(3)1y mx m x =+-+[0,)+∞(0,1][9,)+∞ 41-()f x =122+=x y {}3,195)(,5)(31313131--+=-=x x x g x xx f (4)5(2)(2)f f g -(9)5(3)(3)f f g -)(x f )(x g 2()5()()0f x f xg x -=n x x mx x f ++-=2)(2),2[+∞-∈x ],[b a ),2[+∞-)(b a <],[b a x ∈)(x f c c nm ,≠⊂为 .答案:和1在△ABC 中,BC =2,AB +AC =3,中线AD 的长为y ,AB 的长为x ,建立y 与x 的函数关系式,并指出其定义域.解:设∠ADC =θ,则∠ADB =π-θ.根据余弦定理得12+y 2-2y cos θ=(3-x )2,①12+y 2-2y cos (π-θ)=x 2.②由①+②整理得y =.其中解得<x <.∴函数的定义域为(,).已知函数的定义域为[m ,n],它的值域为[2m ,2n],求实数m ,n 的值。
(07重庆)若函数的定义域为R ,则实数的取值范围 。
关于的方程,给出下列四个命题:1±113-AB CD x y xq 2732+-x x ⎪⎩⎪⎨⎧>+-->+>,2)3(,32,0x x x x x 21252125xx y +-=221()1222-=--aax xx f a [],1-x ()11222=+---k x x①存在实数,使得方程恰有2个不同的实根; ②存在实数,使得方程恰有4个不同的实根; ③存在实数,使得方程恰有5个不同的实根;④存在实数,使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是 (B )A. 0B. 1C. 2D. 318.解选B 。
本题考查换元法及方程根的讨论,要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力;据题意可令①,则方程化为②,作出函数的图象,结合函数的图象可知:(1)当t=0或t>1时方程①有2个不等的根;(2)当0<t<1时方程①有4个根;(3)当t=1时,方程①有3个根。
故当t=0时,代入方程②,解得k=0此时方程②有两个不等根t=0或t=1,故此时原方程有5个根;当方程②有两个不等正根时,即此时方程②有两根且均小于1大于0,故相应的满足方程的解有8个,即原方程的解有8个;当时,方程②有两个相等正根t =,相应的原方程的解有4个;故选B 。
设a 为实数,记函数的最大值为g (a )。
(Ⅰ)设t =,求t 的取值范围,并把f (x )表示为t 的函数m (t )(Ⅱ)求g (a )k k k k 21x t -=(0)t ≥20t t k -+=21y x =-104k <<21x t -=14k =12x x x a x f -+++-=111)(2x x -++11(Ⅲ)试求满足的所有实数a 解:(I )∵,∴要使有意义,必须且,即∵,且……① ∴的取值范围是。
由①得:,∴,。
(II )由题意知即为函数,的最大值,∵直线是抛物线的对称轴,∴可分以下几种情况进行讨论:(1)当时,函数,的图象是开口向上的抛物线的一段,由知在上单调递增,故;(2)当时,,,有=2;(3)当时,,函数,的图象是开口向下的抛物线的一段,若即时,,若即时,,若即时,。
综上所述,有=。
1()(ag a g =x x t -++=11t 01≥+x 01≥-x 11≤≤-x ]4,2[12222∈-+=x t 0≥t t ]2,2[121122-=-t x t t a t m +-=)121()(2a t at -+=221]2,2[∈t )(a g )(t m at at -+=221]2,2[∈t a t 1-=)(t m at at-+=2210>a )(t m y =]2,2[∈t 01<-=a t )(t m ]2,2[∈t )(a g )2(m =2+=a 0=a t t m =)(]2,2[∈t )(a g 0<a )(t m y =]2,2[∈t at 1-=]2,0(∈22-≤a )(a g 2)2(==m at 1-=]2,2(∈]21,22(--∈a )(a g aa a m 21)1(--=-=a t 1-=),2(+∞∈)0,21(-∈a )(a g )2(m =2+=a )(a g ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-≤<---->+)22(22122(,21)21(2a a a a a a(III )当时,;当时,,,∴,,故当时,;当时,,由知:,故;当时,,故或,从而有或,要使,必须有,,即,此时,。
综上所述,满足的所有实数a 为:或。