第五讲 函数的定义域与值域一、知识归纳：（一）函数的定义域与值域的定义：函数y=f(x)中自变量x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 的值叫做函数值。
函数值的集合{f(x)│x ∈A}叫做函数的值域。
（二）求函数的定义域一般有3类问题：1、已知解析式求使解析式有意义的x 的集合常用依据如下： ①分式的分母不等于0； ②偶次根式被开方式大于等于0；③对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1； ④指数为0时，底数不等于0[2、复合函数的定义域问题主要依据复合函数的定义，其包含两类：①已知f[g(x)]的定义域为x ∈（a,b ）求f(x)的定义域，方法是：利用a<x<b 求得g(x)的值域，则g(x)的值域即是f(x)的定义域。
②已知f(x)的定义域为x ∈（a,b ）求f[g(x)]的定义域,方法是：由a<g(x)<b 求得x 的范围，即为f[g(x)]的定义域。
3、实际意义的函数的定义域，其定义域除函数有意义外，还要符合实际问题的要求。
（三）确定函数的值域的原则1、当数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合。
2、当函数y=f(x)图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合。
3、当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。
:4、当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。
（四）求函数值域的方法：1、观察法，2、配方法，3、判别式法，4、反函数法，5、换元法，6、图象法等 }二、例题讲解：【例1】求下列函数的定义域（1）21x y += （2）lgcos y x (3)y=lg(a x -kb x ) (a,b>0且a,b≠1，k ∈R)[解析] （1）依题有1021021032403241x x x x ≠+>⎪⎪+≠⎨⎪->⎪⎪-≠⎩ 4112052log 31x x x x x ≠±⎧⎪⎪>-⎪⎪⇒≠⎨⎪⎪<⎪⎪≠⎩ ∴函数的定义域为415{|0,1,log 31}22x x x -<<≠且 (2)依题意有2250cos 0x x ⎧-≥⎨>⎩ 5522()22x k x k k z ππππ-≤≤⎧⎪⇒⎨-<<+∈⎪⎩∴函数的定义域为33[5,)(,)(,5]2222ππππ--⋃-⋃ {（3）要使函数有意义，则a x -kb x >0，即xa kb ⎛⎫> ⎪⎝⎭①当k≤0时，定义域为R②当k>0时，（Ⅰ）若a>b>0,则log a bx k > 定义域为{x|log a bx k >}(Ⅱ)若0<a<b ，则log a bx k <， 定义域为{x|log a bx k <}(Ⅲ)若a=b>0，则当0<k<1时定义域为R ；当k≥1时，定义域为空集[评析]把求定义域的问题等价转化为关于x 的不等式（组）的求解问题，其关键是列全限制条件(组)。
【例2】设y=f(x)的定义域为[0，2]，求（1）f(x 2+x)； (2)f(|2x-1|)； (3)f(x+a)-f(x-a) (a>0)的定义域 ~分析：根据若f(x)的定义域为[a,b],则f[g(x)]的定义域为a≤g(x)≤b 的解集，来解相应的不等式（或不等式组） 解：（1）由0≤x 2+x≤2得2202x x x x ⎧+≥⎪⎨+≤⎪⎩ ∴0121x x x ≥≤-⎧⎨-≤≤⎩或 ∴定义域为[-2,-1]∪[0,1](2)由│2x -1│≤2，得 -2≤2x -1≤2 所以定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（3）由0202x a x a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩ 得22a x aa x a -≤≤-⎧⎨≤≤+⎩又因a ＞0， 若2-a≥a ，即0＜a≤1时，定义域为{x|a≤x≤2-a} 若2-a ＜a ，即a ＞1时，x ∈φ，此时函数不存在变式:已知函数f(x+1)的定义域是[0，1]，求函数f(x)的定义域。
[1，2]【例3】求下列函数的值域 ,（1）213x y x +=- （2）2231x x y x x -+=-+ （3）y x =-（分析）（1）可分离常数后再根据定义域求值域，也可反解x 求值域（2）常数后再利用配方法求解，也可采用判别式法 （3）可以用换元法或者单调性法 解：（1）方法一：分离常数法 ∵213x y x +=-2(3)77233x x x -+==+-- 由703x ≠-，得2y ≠∴函数的值域为（-∞，2）∪（2，+∞）方法二：反函数法(由213x y x +=-得(3)21(3)x y x x -=+≠，整理得：（y-2）x=3y+1，若y-2=0，有3y+1=0 ，与y-2=0矛盾 若y-2≠0，有312y x y +=-，∴y≠2 ∴函数的值域为{y| y≠2} (2) 方法一：配方法∵2231x x y x x -+=-+2211x x =+-+ 而221331()244x x x -+=-+≥ ∴228013x x <≤-+ ∴1113y <≤ ∴函数的值域为11{|1}3y y <≤ 方法二：判别式法变形得（y-1）x 2-(y-1)x+y-3=0。
当y=1时，此方程无解当y≠1时，∵x ∈R ∴△=（y-1）2—4(y-1)(y-3) ≥0，解得 1≤y≤113又∵y≠1， ∴1113y <≤， ∴函数的值域为11{|1}3y y <≤（3）方法一：换元法t =，则t≥0且212t x -= ∴211(1)122y t =-++≤∴函数的值域为1(,]2-∞方法二：单调性法函数的定义域1(,]2-∞[y x y ==及1(,]2-∞上均是增函数故y x =1(,]2-∞上是增函数∴1122y ≤-= ∴函数的值域为1(,]2-∞变式1：已知函数f(x)的的值域是34[,]89，求()y f x =解：∵34()89f x ≤≤, ∴1112()94f x ≤-≤,∴1132≤≤令t , 则11[,]32t ∈，2211()(1)(1)122y F t t t t ==-+=--+`∵111[,]32∉,∴函数y=F(t)在区间11[,]32上递增∴函数的值域为77[,]98变式2：已知22()1xf x x =+，求()y f x =的值域 【例4】（1）求1132(1)32(1)x x x y x --⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 的值域。
（2）求函数212log (45)y x x =-+的值域。
（分析）（1）分段函数的值域的求法从局部研究，把握局部和整体的关系（2）属复合函数y=f[g(x)]的值域问题，先由函数定义域求出u=g(x)的值域，再在此值域上求出y=f(u)的值域解：（1）若x≤1，则x-1≤0,0<3x-1≤1，有-2<3x-1-2≤-1， $若x>1，则1-x<0, 0<31-x <1， 有-2<31-x -2<-1, 综上有：{y|-2<y≤-1}.（2）函数的定义域为R设u=x 2-4x+5=(x-2)2+1 则12log y u =当x ∈R 时，u ∈[1,+∞)，又∵12log y u =是减函数，∴12log 10y ≤= ∴函数的值域是（-∞，0]点评：求复合函数值域的一般步骤：（1） 正确分析函数的复合过程，抓住中间变量（2） 由x 的取值范围确定中间变量u=g(x)的值域，并逐层确定 （3） …（4）最后确定原函数的值域，整个过程是由内向外逐层解脱。
变式：函数0(0)(0)x y x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩的值域 （-∞，0]【例5】（1）已知函数23log [(21)3]y ax a x =+++的值域是R ，求实数a 的取值范围（2）若函数lg(124)x xy a =++，当x ∈(-∞,2]时有意义，求实数a 的取值范围 （3）函数21()(1)12f x x =-+的定义域和值域都是[1,b] (b>1),求b 的值 解：（1）只要u=ax 2+(2a+1)x+3能取到（0，+∞）上的所有实数，则f(x)的值域为R ，∵当a=0时 u=x+3能取到（0，+∞）上的所有实数。
当a≠0时应有20(21)430a a a >⎧⎨+-⨯≥⎩解得0a a <≤≥)(2)由题意得，当x ∈(-∞，2)时，1+2x +a4x >0,∴x ∈(-∞，2)时，1211()()442x x xx a +>-=--。
∵11(),()42x x y y =-=-在（-∞，2）上是增函数。
最大值是516-∴516a >- （3）∵21()(1)12f x x =-+在[1，b]上是增函数，∴f(x)在[1，b]上的值域是[1,f(b)], 由题意知f(x)在[1，b]上的值域是[1，b]，∴f(b)=b ，即21(1)12b b -+=解得b=1(舍去)或b=3点评：在熟练掌握求函数值域的几种常规方法的基础上要对具体题目做具体分析，应选择最优的方法求函数的值域不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
/变式：设2()()1ax bf x x R x +=∈+的值域为[-1，4]，求a,b 的值 （a=±4，b=3）5.函数的定义域与值域复习题一、选择题：1、已知函数f （x ）的定义域为[0，1]，那么函数f （x 2－1）的定义域为（ ）A.[0，1]B.[1，2]C.[1，2]D.[－2，－1]∪[1，2] 2、函数y=2-x +1(x>0)的反函数是 （ ） A 21log (1,2)1y x x =-∈- B 21log (1,2)1y x x =∈-&C 21log (1,2]1y x x =∈- D 21log (1,2]1y x x =-∈-3、函数y ＝log 2x ＋3（x≥1）的值域是（ ）A.[)+∞,2B.（3，＋∞）C.[)+∞,3D.（－∞，＋∞） 4、函数y ＝2－x x 42+-的值域是（ ）A.[－2，2]B.[1，2]C.[0，2]D.[－2，2] 5、值域是（0，＋∞）的函数是（ ） ＝52x －2 ＝（31）x -1 ＝1)21(-x D.|log |22x y =6、函数12)(2+=x xx f 的值域是（ ） ；A.[－1，1]B.[0，1]C.[－1，0]D.[1，2] 7、函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域是（ ）A. [)+∞,3B. (]3,-∞-C. [)+∞,1D. (]1,∞-8、若{|2},{|xM y y P y y ====，则M∩P （ ） A.{|1}y y > B. {|1}y y ≥ C. {|0}y y > D. {|0}y y ≥9、函数)1(log 221-=x y 的定义域为（ ）A 、[)(]2,11,2 --B 、)2,1()1,2( --C 、[)(]2,11,2 --D 、)2,1()1,2( --￥二、填空题：10．函数xx y -=||1的定义域为__________________ 11．设12)12(-=-x f x ，则f （x ）的定义域是________________ 12．函数y ＝2||1x -的值域为______________________13．函数y=x ＋x -1的值域为____________________14．函数11)(+-=x x e e x f 的反函数)(1x f-的定义域是______________三、解答题：15．若函数3412++-=ax ax ax y 的定义域为R ，求实数a 的取值范围。