解 先求单位阶跃响应： 先求单位阶跃响应： 令
iS (t) = ε(t)
− t RC
iS(t) R
uC(0+)=0 uC(∞)=R
τ = RC
iC + uC C -
uC (t) = R(1− e
iC(0+)=1
)ε(t)
iC = e
uC(0－)=0
− t RC
iC(∞)=0
ε(t)
再求单位冲激响应, 再求单位冲激响应,令： iS (t) = δ(t)
代初始 iL (0+ ) = iL (0− ) = 0 条件 uC (0+ ) = uC (0− ) = 0
1+ A + A2 = 0 1 1 − A − 4A2 = 0
4 A =− 1 3
4 −t 1 −4t 阶跃响应 iL (t) = s(t) = 1− e + e ε(t)A 3 3
激励为单位冲激函数时， 激励为单位冲激函数时，电路中产 生的零状态响应。 生的零状态响应。 例8-1 求单位冲激电流激励下的 电路的零状态响应。 求单位冲激电流激励下的RC电路的零状态响应 电路的零状态响应。 冲激响应 解 分两个时间段考虑冲激响应 δ(t) (1) t 在 0－ — 0+间 电容充电， 电容充电，方程为 iC + uC C -
iR + iC + iL − 0.5iC = iS
iR + 0.5iC + iL = ε(t)
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iS=ε(t)A
iR 0.2Ω
iC 2F
iL 0.25H
0.5iC
iR + 0.5iC + iL = ε(t)
uR L diL iR = = R R dt
duC d2 iL iC = C = LC 2 dt dt
电路的动态过程是过阻尼性质的。 电路的动态过程是过阻尼性质的。
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1 A2 = 3
7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应
1. 单位冲激函数 δ(t) = 0 (t ≠ 0)
定义 δ(t) 1
O
∫−∞
1
∞
δ(t)dt =1
t
单位脉冲函 数的极限
p(t) = [ε(t + ) − ε(t − )] ∆ 2 2
−
t RC
1 δ(t) − e RC
−
t RC
ε(t)
1 = δ(t) − e RC
ε(t)
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阶跃响应
uC R t
O O
iC 1 t iC
冲激响应
1 C
O
uC t
1
1 − RC
O
t
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4. 二阶电路的冲激响应 求单位冲激电压激励下的RLC电路的零状态响应。 电路的零状态响应。 电路的零状态响应 例8-4 求单位冲激电压激励下的
ε(t) t -ε (t-t0)
t0
例7- 2
2 1
O
f (t) = ε(t) − ε(t − t0 )
解 f(t)
t0
t
f (t) = 2ε(t −1) − ε(t − 3) − ε(t − 4)
3 4 t
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1
例7- 3
2 1
O
f(t)
1
3 4 t
解
f (t) = ε(t) + ε(t −1) − ε(t − 3) − ε(t − 4)
7-6 二阶电路的零状态响应和全响应
1. 二阶电路的零状态响应 uC(0－)=0 , iL(0－)=0 +
微分方程为 L US R
d uC duC LC + RC + uC =US dt dt
2
-
iL + uC
- C
′ ′′ uC = uC + uC
特解 通解
特征方程为
LCp + RCp +1= 0
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例7-4 1
－2
O
u(t)
已知电压u(t)的波形如图， 已知电压 的波形如图， 的波形如图 试画出下列电压的波形。 试画出下列电压的波形。 解 2 t 1 1
(1) u (t)ε(t)
(2) u (t −1)ε(t) (3) u (t −1)ε(t −1) 1
(4) u (t − 2)ε(t −1 )
t
①冲激函数对时间的积分等于阶跃函数
0 t < 0 ∫−∞δ(t)dt = 1 t > 0 = ε (t)
t
dε (t) = δ(t) dt
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②冲激函数的“筛分性” 冲激函数的“筛分性”
∫
∞
−∞
f (t)δ(t)dt = f (0)∫ δ (t)dt = f (0)
−∞
iC
R ε (t -t0) C + uC –
1 − iC = e R
1 e R
-t
RC
t- t0
RC
ε ( t - t0 )
1 R
O
iC
注意 不要写为
ε(t − t0 )
t0
t
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图示电路中, 例7-5 图示电路中,开关合在下方位置时电路已达到
稳定状态。 时开关由下合到上方位置， 稳定状态。t = 0 时开关由下合到上方位置， t=τ=RC时又由上方合到下方位置，求t 》0 时又由上方合到下方位置， 在t= 时又由上方合到下方位置 时的电容电压u 时的电容电压 C(t)。 uS US S C
O
R US uc(t)
τ
τ
t/s
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2. 二阶电路的阶跃响应 已知图示电路中u , 求单 例7-7 已知图示电路中 C(0-)=0, iL(0-)=0，求单
位阶跃响应 iL(t)。 iS= ε(t)A iR 0.2Ω iC 2F iL 0.25H 0.5iC
解
对电路应用KCL列结点电流方程有 列结点电流方程有 对电路应用
结论 电容中的冲激电流使电容电压发生跃变。 电容中的冲激电流使电容电压发生跃变。
(2) t > 0 为零输入响应（RC放电） 放电） 为零输入响应（ 放电
1 uC (0 ) = ≠ uC (0 ) C
−
1 uC = e t >0 C t − uC 1 iC = − = − e RC t > 0 R RC
(1) t 在 0－ — 0+间方程为
diL RiL + L = δ(t) dt
0+
0+ diL ∫0− RiLdt + ∫0− L dt dt = ∫0− δ(t)dt =1 0+
0
iL (0 ) = 0
−
L iL (0+ ) - iL (0- ) =1
1 iL (0 ) = ≠ iL (0 ) L
0 (t < t0 ) ε(t − t0 ) = 1 (t > t0 )
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单位阶跃函数的作用 ①在电路中模拟开关的动作。 = 0 合闸 u(t) = USε(t) 在电路中模拟开关的动作。 t S u(t)
US
USε(t)
u(t)
i (t)
IS S
t = 0 合闸 i(t) = ISε(t)
+ −
注意 iL不是冲激函数 , 否则 否则KVL不成立。 不成立。 不成立
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电感上的冲激电压使电感电流发生跃变。 结论 电感上的冲激电压使电感电流发生跃变。 (2) t > 0 RL放电 放电 R iL + uL L -
1 iL (0 ) = ≠ iL (0 ) L
+ −
L τ= R
R
duC uC + = δ(t) C dt R
uC(0－)=0
注意 uC不是冲激函数 , 否则 否则KCL不成立。 不成立。 不成立
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∫
0+
0−
0 u 0 duC C C dt + ∫0 dt = ∫0 δ(t)dt =1 dt R
+ + − −
+ −
+
0
C[uC (0 ) − uC (0 )] =1
∞
f(0)δ(t)
同理
δ(t) 1 f(0)
O
∫
∞
f(t) t
−∞
∞
f (t)δ(t −t0 )dt = f (t0 )
例
π ∫−∞(sint + t)δ(t − 6)dt
注意
f(t)在 t0 处连续 在
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π π 1 π = sin( ) + = + =1.02 6 6 2 6
2. 一阶电路的冲激响应
1 iL (0 ) = L
+
1 iL = e L
−
t
τ
t >0
− t
R uL = −iLR = − e L
τ
t >0
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t 1 −τ iL = e ε(t) L t − R τ uL = δ(t) − e ε(t) L
1 L
O
iL 1 t
uL
L − R
O
t
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3. 单位阶跃响应和单位冲激响应关系 激励
2 L 2