f ( x) f ( x)
f ( x)2 ,
( x) 0
( x)
f ( x)2
f ( x) f ( x) f ( x) f ( x)
f ( x)3
2 f ( x) f ( x)2 f ( x* ) f ( x)3 f ( x* )
当 f ( x*) 0 时，由迭代定理可知，牛顿迭代 法以 2 阶速度收敛于 x* 。
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4
牛顿迭代法
定义：对于给定正数 a，应用牛顿迭代法解二次 方程 x2 a 0，可求 a 的计算公式
1 a
xk 1
2
xk
xk
例：证明以上公式，对于初值 x0 (0, ) 整体收 收敛于 a ，且收敛速度是 2 阶的。
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1
牛顿迭代法几何含义
y=g(x)
x* xk x2
x1
x0
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
令
y 0 x1 x0
f ( x0 ) f ( x0 )
y f ( x1 ) f ( x1 )( x x1 )
令
y 0 x2 x1
f ( x1 ) f ( x1 )
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2
牛顿迭代法
定义：从几何上看，x1, x2 越来越接近 x*。由此， 不难归纳出一般迭代公式
xk1
xk
f ( xk ) f ( xk )
( x0为初值)
以上方法称作牛顿迭代法（也称切线法）
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12
例题
例：用牛顿迭代法计算 1/1.2345。
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13
例题
解：将 x 1 转化为 f ( x) 1 a 0 ，a 1.2345
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9
例题
解：设方程 f ( x) x2 a 0 ，则 f ( x) 2x ，
代入牛顿迭代公式可得
xk 1
xkk 0
f ( xk ) f ( xk )
1.x50k000x00kx020k20x00k0a0
1
2
xk
xka1 xk
取 x0 51.5 ，代入1牛.732顿0508迭075代6888公式，计0 算结果如表
所示。
3 1.73205080756888
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10

例题
例：设 a>0 ，推导用牛顿迭代法计算 1/a 的 公式，要求在迭代公式中不用除法进行运算，并 计算 1/6。
0.015
当 a=62 时，牛顿迭0代.166公650式为
3
0.166817
xk1 x4 k (2 6 xk ),
(k 0,1, )
0.166667
0.00165 0.000167 0.00075
取 x0 5 0.15 ，代入牛0.1顿6666迭7 代公式，计0 算结果如表
所示。
1 1.66667 6
1 a xk1 2xk
2
a xk
2
a xk
a a
xk 1 xk 1
a a
xk xk
2
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6
牛顿迭代法
证明：反复递推可得
2
22
a a
xk 1 xk 1
a a
xk xk
a a
xk 1 xk 1
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5
牛顿迭代法
证明：从牛顿迭代法可得
xk 1
xk
f ( xk ) f ( xk )
f ( xk ) 2xk
xk 1
xk
xk2 a 2 xk
xk2 a 2 xk
1 2 xk
xk2 a
1 a xk1 2xk
2k 1
=
=
a a
x0 x0
若记：q
a a
x0 x0
(q
1)
xk 1
1 q2k1 a 1 q2k1
lim
k
xk 1
a
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7
牛顿迭代法
证明：设 ek1
a xk1
ek 1 ek2
=-
a xk1
2
a xk
定理： 设 x*是方程 f ( x) 0 的一个单根，且 f ( x) 0 ， 则，牛顿迭代法以 2 阶速度收敛于方程根 x* 。
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3
牛顿迭代法
证明：事实上，迭代函数 ( x)
x
f ( x) ，且
f ( x)
( x)
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11
例题
解：设方程
f (x)
1 x
a
0
，则
f ( x)
1 x2
，
代入牛k顿迭代公式可x得k
xk 1
x0 k
1
f ( xk ) f ( xk )
x0k.1(520000 axk ),
0.165000
xk1 xk
(k 0,1, )
2016/2017 学年 第一学期（16周）
牛顿迭代法 – 非线性方程
牛顿迭代法几何含义
y=g(x)
x* xk x2
x1
x0
设方程 f ( x) 0 有根 x*，且 f ( x) 0 ，如图所示 牛顿给出一种求解方法：在根附近任取一个点，
曲线与在该点处的切线，该切线与轴线交点取作
第二点，依次循环
lim
k
ek 1 ek2
=-
1 2a
从迭代法则得知：lim k
ek 1 ekp
0时，该迭代式在
x*
的
附近 p 阶收敛的。
因此，xk 1
1
2
xk
a xk
在
(0, ) 上以 2 阶速度整
体收敛于 a。
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8
例题
例：给出计算 a 的牛顿迭代公式，并计算 3 。
xk
当 a=3 1时，迭代公1.75式000为000000000
0.25
2
1 3
xk 1
2
3 4
xk
xk
1.73214285714286 1.73205081001473 1.73205080756888
0.01785714285714 0.00009204712813 0.00000000244585