坐标系与参数方程专题
⏹ 温故知新
1．坐标系 (1)坐标变换
设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩
⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·
x （λ>0）y ′＝μ·y （μ>0）的作用下，
点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为坐标系中的伸缩变换． (2)极坐标系
在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．
2．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y
x （x ≠0）
. 3．直线的极坐标方程
若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；
(2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos_θ＝a ；
(3)直线过M (b ，π
2)且平行于极轴：ρsin_θ＝b ．
4．圆的极坐标方程
若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则该圆的方程为：
ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2
＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；
(2)当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：ρ＝2a cos_θ； (3)当圆心位于M (a ，π
2
)，半径为a ：ρ＝2a sin_θ．
⏹ 举一反三
考点一、平面直角坐标系中的伸缩变换 例1、 求双曲线
C ：x 2－
y 2
64＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y
变换后所得曲线C ′的焦点坐标． [解] 设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′，代入x 2
－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′2
16
＝1，
即x 29－y 2
16
＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)为所求． 变式练习 1.在同一平面直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．
解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），代入第二个方程，得2λx －μy ＝4，与x －2y ＝2比较系数得λ＝1，μ＝4，即⎩
⎪⎨
⎪⎧x ′＝x ，
y ′＝4y .因此，经过变换⎩
⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，
y ′＝4y 后，直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4.
考点二、极坐标与直角坐标的互化
例2、 (2014·高考天津卷改编)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，求a 的值．
[解] 由ρ＝4sin θ，可得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4. 由ρsin θ＝a ，可得y ＝a .
设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示． 由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt △DOB 中，易求DB ＝3
3
a ， ∴B 点的坐标为⎝⎛
⎭
⎫33a ，a .
又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上，
4．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，
2y ′＝y .
(1)求点A ⎝⎛⎭⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标；(2)点B 经过φ变换得到点B ′⎝⎛⎭⎫－3，1
2，求点B 的坐标； (3)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得到的直线l ′的方程．
解：(1)设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩
⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，
2y ′＝y
得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12
y ，由于点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，∴A ′(1，－1)即为所求． (2)设B (x ，y )，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 得到⎩⎪
⎨⎪⎧x ＝1
3x ′，y ＝2y ′.
由于点B ′的坐标为⎝⎛⎭⎫－3，12，于是x ＝13×(－3)＝－1，y ＝2×1
2
＝1，∴B (－1，1)即为所求． (3)由伸缩变换φ：⎩
⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′
3，
y ＝2y ′.
代入直线l ：y ＝6x ，得到经过伸缩变换后的方程y ′＝x ′，因此直线l ′的方程为y ＝x .
5．(2015·福建泉州质检)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π
4＝2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4；
因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π
4＝2， 所以
x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2
2
. 6．求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数．
证明：建立如图所示的极坐标系，设抛物线的极坐标方程为ρ＝p
1－cos θ(p >0)．
PQ 是抛物线的弦，若点P 的极角为θ，则点Q 的极角为π＋θ， 因此有|FP |＝p
1－cos θ
，
|FQ |＝
p 1－cos （π＋θ）＝p
1＋cos θ
.
所以1|FP |＋1
|FQ |＝1－cos θp ＋1＋cos θp ＝2p
(常数)．
原命题得证．
大试牛刀
1．(2015·唐山市统一考试)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．
(1)将圆C 和直线l 的方程化为极坐标方程；
(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．
解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为 C ：ρ＝2，l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.
(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ |·|OP |＝|OR |2，得ρρ1＝ρ22. 又ρ2＝2，ρ1＝2
cos θ＋sin θ，
所以2ρ
cos θ＋sin θ
＝4，
故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．
2．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，
y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．
解：(1)将⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，
y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，
即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.
将⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ
y ＝ρsin θ，代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.
由⎩
⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.
所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(2，π4)，(2，π2)．
3．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭
⎫θ－π
3＝1，。