选修4－4 坐标系与参数方程1．极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做________，从O 点引一条射线Ox ，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝______，y ＝________. 另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程θ＝α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b 表示过⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴的直线； ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程ρ＝2r cos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r |的圆； ρ＝2r sin θ表示圆心在⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为|r |的圆； ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r |的圆． 3．曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t 称为________． 4．一些常见曲线的参数方程(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t 为参数)． (2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为________________________(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程为________________(θ为参数)．(4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为________________(t 为参数)．1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________．3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则PF ＝________.4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t sin 40°，y ＝3＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________．5．已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上的是________．题型一 极坐标与直角坐标的互化例1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．思维升华 直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．题型二 参数方程与普通方程的互化例2 已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，求它们的交点坐标．思维升华 (1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等．对于与角θ有关的参数方程，经常用到的公式有sin 2θ＋cos 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ等．(2)在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 21＋t 2，y ＝4－2t21＋t2(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4cos 2θ，y ＝－1＋sin 2θ(θ为参数)．题型三 极坐标、参数方程的综合应用例3 在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－3＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，M ，N分别为曲线C 、直线l 上的动点，求MN 的最小值．思维升华 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．转化后可使问题变得更加直观，它体现了化归思想的具体运用．(2013·辽宁)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．参数的几何意义不明致误典例：(10分)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t(t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)．(1)求直线l 的倾斜角；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB .易错分析 不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误． 规范解答解 (1)直线的参数方程可以化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 60°，y ＝22＋t sin 60°，[2分] 根据直线参数方程的意义，直线l 经过点(0，22)， 倾斜角为60°.[4分](2)直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋22，[6分] ρ＝2cos(θ－π4)的直角坐标方程为(x －22)2＋(y －22)2＝1，[8分]所以圆心(22，22)到直线l 的距离d ＝64. 所以AB ＝102.[10分] 温馨提醒 对于直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)来说，要注意t 是参数，而α则是直线的倾斜角．与此类似，椭圆参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ的参数φ有特别的几何意义，它表示离心角．方法与技巧1．曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．2．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ.3．利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法． 失误与防范1．极径ρ是一个距离，所以ρ≥0，但有时ρ可以小于零．极角θ规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ<2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点． 2．在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．A 组 专项基础训练1．(2013·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．2．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝－ 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程； (2)曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．3．(2013·福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为(2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．4．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6上的动点，试求PQ 的最大值．5．在极坐标系中，已知三点M ⎝⎛⎭⎫2，－π3、N (2,0)、P ⎝⎛⎭⎫23，π6. (1)将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标； (2)判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上．6．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．B 组 专项能力提升1．在极坐标系中，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标．2．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．3．(2013·课标全国Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．4．(2012·辽宁)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．答案要点梳理1．(1)极点 极轴 极径(2)ρcos θ ρsin θ x 2＋y 2 y x3．参数方程 参数4．(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α (2)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ (3)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θy ＝b sin θ (4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt 夯基释疑1．43 2.x 2＋y 2－2x －y ＝0 3.4 4.50° 5.M 1题型分类·深度剖析例1 解 (1)由ρcos(θ－π3)＝1 得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2. 当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π2)． (2)M 点的直角坐标为(2,0)．N 点的直角坐标为(0，233)． 所以P 点的直角坐标为(1，33)． 则P 点的极坐标为(233，π6)， 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )． 跟踪训练1 解 将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1， 即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1，解得a ＝－8或a ＝2.故a 的值为－8或2.例2 解 将两曲线的参数方程化为普通方程分别为x 25＋y 2＝1 (0≤y ≤1，－5<x ≤5)和y 2＝45x ，联立解得交点为⎝⎛⎭⎫1，255. 跟踪训练2 解 (1)∵x ＝2t 21＋t 2， ∴y ＝4－2t 21＋t 2＝4(1＋t 2)－6t 21＋t 2＝4－3×2t 21＋t 2＝4－3x . 又x ＝2t 21＋t 2＝2(1＋t 2)－21＋t 2＝2－21＋t 2∈[0,2)． ∴x ∈[0,2)．∴所求的普通方程为3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))．(2)∵4cos 2θ＝2－x,4sin 2θ＝4(y ＋1)．∴4cos 2θ＋4sin 2θ＝2－x ＋4y ＋4.∴4y －x ＋2＝0.∵0≤4cos 2θ≤4，∴0≤2－x ≤4，∴－2≤x ≤2.∴所求的普通方程为x －4y －2＝0(x ∈[－2,2])．例3 解 化极坐标方程ρ＝4cos θ为直角坐标方程x 2＋y 2－4x ＝0，所以曲线C 是以(2,0)为圆心，2为半径的圆．化参数方程⎩⎨⎧ x ＝－3＋32t ，y ＝12t(t 为参数)为普通方程x －3y ＋3＝0. 圆心到直线l 的距离d ＝|2＋3|1＋3＝52， 此时，直线与圆相离， 所以MN 的最小值为52－2＝12. 跟踪训练3 解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4， 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1， 所以⎩⎨⎧ b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.练出高分A 组 1．解 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)， 由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ， 解得公共点的坐标为(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－1.2．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)得 x 2＋y ＝1，x ∈[－1,1]．(2)由ρsin(θ＋π4)＝－2得曲线D 的普通方程为 x ＋y ＋2＝0.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，x 2＋y ＝1得x 2－x －3＝0. 解得x ＝1±132∉[－1,1]， 故曲线C 与曲线D 无公共点．3．解 (1)由点A (2，π4)在直线ρcos(θ－π4)＝a 上，可得a ＝ 2. 所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．4．解 ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36.又∵ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6， ∴ρ2＝12ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π6＋sin θsin π6， ∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0，∴(x －33)2＋(y －3)2＝36，∴PQ max ＝6＋6＋(33)2＋32＝18.5．解 (1)由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得M 的直角坐标为(1，－3)； N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3，3)．(2)∵k MN ＝32－1＝3，k NP ＝3－03－2＝ 3. ∴k MN ＝k NP ，∴M 、N 、P 三点在一条直线上．6．解 圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′， ∴4x ′2＋9y ′2＝36，即x ′29＋y ′24＝1. ∴曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)． B 组1．解 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin(θ－π4)＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的极坐标为(1，π2)． 2．解 (1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4；因为ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2， 所以ρ2－22ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＝2， 所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin(θ＋π4)＝22. 3．解 (1)∵C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4＋5cos t y ＝5＋5sin t. ∴⎩⎪⎨⎪⎧5cos t ＝x －45sin t ＝y －5. ∴(x －4)2＋(y －5)2＝25(cos 2t ＋sin 2t )＝25， 即C 1的直角坐标方程为(x －4)2＋(y －5)2＝25， 把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －4)2＋(y －5)2＝25， 化简得：ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧(x －4)2＋(y －5)2＝25x 2＋y 2＝2y 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2. ∴C 1与C 2交点的直角坐标为(1,1)，(0,2)．∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2. 4．解 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3， 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ 得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3. ⎝ ⎛⎭⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤3 方法二 将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ 得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ. 于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ， －π3 ≤θ≤π3.。