1、偏导数定义
由于一元函数微分学知道：若()f x 在点0x 可微，则函数增量
()()()00f x x f x A x o x +∆-=∆+∆，其中()'0A f x =。

同样，由上一段已知，若二元函数f 在点()00,x y 可微，则f 在()00,x y 处的全增量可由()()()0000,,z f x x y y f x y A x B y o ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+表示。

现在讨论其中A ，B 的值与函数f 的关系。

为此，在z A x B y x y αβ∆=∆+∆+∆+∆中令0y ∆=()0x ∆≠，这时得到z ∆关于x 的偏增量x z ∆，且有
x z A x x α∆=∆+∆或x z A x
α∆=+∆。

现让0x ∆→，由上式得A 的一个极限表达式
()()000000
,,lim lim x x x f x x y f x y z A x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆。

容易看出，上式右边的极限正是关于x 的一元函数()0,f x y 在0x x =处的导数。

类似地，令()00x y ∆=∆≠，由z A x B y x y αβ∆=∆+∆+∆+∆又可以得到 ()()000000,,lim lim y y y z f x y y f x y B y y
∆→∆→∆+∆-==∆∆。

它是关于y 的一元函数()0,f x y 在0y y =处的导数。

二元函数当固定其中一个自变量时，它对另一个自变量的导数称为偏导数，定义如下：
设函数()(),,,z f x y x y D =∈。

若()00,x y D ∈，且()0,f x y
在0x 的某一邻域内有定
义，则当极限
()()()00000000,,,lim lim x x x f x y f x x y f x y x x ∆→∆→∆+∆-=∆∆ 存在时，称这个极限为函数f 在()00,x y 关于x 的偏导数，记作
()00,x f x y 或()00,x y f
x ∂∂。