§57 导数的概念及导数的几何意义⑴【考点及要求】了解导数的概念，理解导数的几何意义，通过函数图象能直观地理解导数的几何意义。

【基础知识】1．一般地，函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率为，平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），或说在某个区间上曲线陡峭的程度；2．不妨设))(,()),(,(0011x f x Q x f x P ，则割线PQ 的斜率为，设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0，∴=PQ k ，当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00无限趋近点Q 处切线。

3．曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：xx f x x f k ∆-∆+=)()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的，记为． 4．瞬时速度与瞬时加速度：位移的平均变化率：tt s t t s ∆-∆+)()(00，称为；当无限趋近于0 时，t t s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的；速度的平均变化率：t t v t t v ∆-∆+)()(00，当无限趋近于0 时，tt v t t v ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的．【基础练习】1．已知函数2()f x ax =在区间[1,2]上的平均变化率为,则()f x 在区间[-2,-1]上的平均变化率为 ．2．A 、B 两船从同一码头同时出发,A 船向北,B 船向东,若A 船的速度为30km/h,B 船的速度为40km/h,设时间为t,则在区间[t 1,t 2]上,A,B 两船间距离变化的平均速度为____ __ _ 【典型例题讲练】例1．已知函数f(x)=2x+1,⑴分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上函数f(x)的平均变化率； ⑵.探求一次函数y=kx+b 在区间[m ，n]上的平均变化率的特点；练习：已知函数f(x)=x 2+2x ，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率;⑴[1，2]； ⑵[3，4]； ⑶[－1，1]； ⑷[2，3] 【课堂检测】 1．求函数()y f x==在区间[1,1+△x]内的平均变化率2．试比较正弦函数y=sinx 在区间0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的平均变化率，并比较大小。

§58 导数的概念及导数的几何意义⑵【典型例题讲练】例2．自由落体运动的物体的位移s （单位:s ）与时间t （单位：s ）之间的关系是：s(t)=12gt 2(g 是重力加速度)，求该物体在时间段[t 1，t 2]内的平均速度； 练习：自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=221gt (1)求t=t 0s 时的瞬时速度；(2)求t=3s 时的瞬时速度； (3)求t=3s 时的瞬时加速度；例3．已知f(x)=x 2，求曲线在x=2处的切线的斜率。

练习:1． 曲线y=x 3在点P 处切线斜率为k,当k=3时,P 点的坐标为_________． 2．若曲线4y x =的一条切线与直线480x y +-=垂直，则的方程为． 3．曲线2212x y -=与2413-=x y 在交点处切线的夹角是____ __． 4．已知函数()32122f x x x m =-+（为常数）图象上处的切线与30x y -+=的夹角为，则点的横坐标为.5．曲线y =x 3在点(1，1)处的切线与x 轴、直线x =2所围成的三角形的面积为__________． 6．过曲线13-+=x x y 上一点P 的切线与直线74-=x y 平行，则P 点的坐标为． 例4．求21()f x x=过点(1,1)的切线方程 练习：过点(,)12P -且与曲线2342y x x =-+在点(,)11M 处的切线平行的直线方程是__ _ ___.【课堂小结】 【课堂检测】1．求曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程2．已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0，2），且在点M (1(1))f --，处的切线方程为076=+-y x ．求函数)(x f y =的解析式；3．已知曲线()f x =P(0,0)的切线斜率是否存在?说明理由【课堂作业】1．与直线14-=x y 平行的曲线23-+=x x y 的切线方程是__ _ ___. 2．设曲线y=21x 和曲线y=x 1在它们交点处的两切线的夹角为，则tan 的值为_ _ __.3．若直线y=是曲线ax x x y +-=233的切线，则α=.4．求曲线)2)(1(--=x x x y 在原点处的切线方程.§59 导数的运算（1）【考点及要求】理解导数的运算，能根据导数的定义，求函数xy x y x y c y 1,,,2====的导数；能利用导数数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

【基础知识】1．基本初等函数的求导公式：=')(C ，；=')(αx ，（α为常数）；=')(x a ，)1,0(≠>a a=')x (log a =，)1,0(≠>a a ；注：当a=e 时，=')(e x ，=')(lnx ，=')(sinx ，=')(cosx ；2．法则1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的，即=±')]()([x v x u ．法则2 常数与函数的积的导数，等于常数与函数的 ．法则3 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即='))()((x v x u ． 法则4 两个函数的商的导数，等于，即 ='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()(x x v u )0()(≠x v ．【基础练习】1．求下列函数导数．（1）5-=x y （2）x y 4= （3）x x x y =（4）x y 3log = （5）)100()1(log 1≠>>-=x a a x ay x ，，， （6）y=sin(2π+x) (7) y=sin 3π（8）y=cos(2π－x) （9）y=(1)f ' 【典型例题讲练】例1 求下列函数的导数（1）x x y sin 3+=； （2）2(23)(32)y x x =+-；(两种方法)（3）9cos 2sin 510--=x x x x y ；（4）y =xx sin 2；.练习：(1)求y =332++x x 在点x =3处的导数. (2) 求y =x1·cos x 的导数.（3）．求y =xx x cos 423-的导数. （4）．求x x y x ln 3+=的导数.【课堂检测】1．设函数()()(2)(3)f x x x k x k x k =++-，且'(0)6f =，则； 2．求下列函数的导数：(1) y =xx 53+ (2)y =232xx + (3)y = )sin )(cos ln 34(x x x x ++- (4)y =xcos 11-§60 导数的运算（2）例2．求满足下列条件的函数()f x(1)()f x 是三次函数,且(0)3,'(0)0,'(1)3,'(2)0f f f f ===-= (2)'()f x 是一次函数,2'()(21)()1x f x x f x --=练习：已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 的图象过点P(0,2)，且在点M 处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式例3．已知点P 在函数y=cosx 的图象上（0≤x ≤2π），在点P 处的切线斜率大于0，求点P 的横坐标的取值范围．练习：已知函数235)3(35)(a x a ax x x f +++-=，且对0)(,≥'∈∀x f R x ， 求证：63≤≤-a例4.若直线y x b =-+为函数1y x=图象的切线,求b 的值和切点坐标． 练习：1．求曲线y=x 2在点(1,1)处的切线方程； 2．求曲线y=x 2过点(0,-1)处的切线方程；3．已知直线1y x =-,点P 为y=x 2上任意一点,求P 在什么位置时到直线距离最短； 【课堂小结】 【课堂检测】1．已知函数23)(23++=x ax x f ，f ’(-1)=4，则a=．2．过抛物线2x y =上的点M （41,21）的切线的倾斜角是．3．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是．4．曲线1y x=和2y x =在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是． 5．已知曲线y =和这条曲线上的一点P (2,),求曲线y =在点P 处的切线方程.【课堂作业】1．若曲线y =x 2－1与y =1－x 3在x =x 0处的切线互相垂直,则x 0等于． 2．求下列函数的导数：(1) y =lg(1+cos2x ) (2) y =e x ln x 3．设函数f (x )=ax 3+3x 2+2,若f ′(－1)=4,试求a 的值.4．已知抛物线y =ax 2+bx +c 通过点(1,1),且在点(2,－1)处与直线y =x －3相切,求a 、b 、c 的值.§61 导数在研究函数性质中的应用⑴【考点及要求】熟练掌握导数在研究函数性质中的应用；通过数形结合的方法直观了解函数的单调性、极值、最值与导数的关系，会求不超过三次的多项式函数的单调区间，能在指定区间上确定不超过三次的多项式函数的极值、最值。

【基础知识】1．用导数的符号判别函数增减性的方法：若0)(>'x f ，则函数)(x f 为，若0)(<'x f ，则函数)(x f 为；2．求可导函数单调区间的一般步骤和方法：⑴确定函数)(x f 的；⑵求)(x f '，令0)(='x f ，解此方程，求出它在定义域外区间内的一切；⑶把上面的各实根按由的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间；⑷确定)(x f '在各个小区间内的符号，根据)(x f '的判断函数)(x f 在每个相应小区间内的增减性；3．函数极值的定义：设函数)(x f 在点附近有定义，如果对附近的所有点，都有)()(0x f x f <（或)()(0x f x f >），就说)(0x f 是函数)(x f 的一个极值；和统称为极值； 4．求可导函数)(x f 在],[b a 上的最大或最小值的一般步骤和方法：①求函数)(x f 在),(b a 上的值；②将极值与区间端点的函数值)(),(b f a f 比较，确定最值。