解：如图，设 Px，y，由椭圆的对称性，不妨设 Px，y，由椭圆的对称性，不妨设 P 在第一
象限．由余弦定理知：
F1F2 2 PF1 2 PF2 2 2 PF1 · PF2 cos 4c2 ．①
由椭圆定义知： PF1 PF2 2a ②，则 ②2－① 得
PF1
PF2
2b2 1 cos
．
S 故 F1PF2
得
3
k
5
，故
k
的取值范围是
3
k
5
．
出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 a b 0 这个条件，当 a b 时，并不表示椭圆．
例 4 已知 x2 sin y2 cos 1 (0 ) 表示焦点在 y 轴上的椭圆，求 的取值范围．
1
分析：依据已知条件确定 的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出 的取值范
1 2
PF1
PF2
sin
1 2b2 sin 2 1 cos
b2 tan ． 2
3.第二定义应用
例 1
x2
椭圆
y2
1的右焦点为 F ，过点 A 1，3
，点 M
在椭圆上，当
AM
2 MF
为最小值
16 12
时，求点 M 的坐标．
分析：本题的关键是求出离心率 e 1 ，把 2 MF 转化为 M 到右准线的距离，从而得最小 2
当椭圆的焦点在 y 轴上时， a2 9 ， b2 k 8 ，得 c2 1 k ．
由e
1
1 k
，得
1
，即 k
5
．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ． 4
说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为 k 8 与 9 的大小关系不定，所以椭圆的焦
点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上．故必须进行讨论．
∴ MN 4 x1 ．
又由焦半径公式知：
MF1
a ex1
2
1 2
x1
，
MF2
a ex1
2
1 2
x1
．
∵
MN
2
MF1
MF2
，∴ x1
42
2
1 2
x1
2
1 2
x1
．
2
整理得 5x12 32x1 48 0 ．
解之得
x1
4
或
x1
12 5
．
①
另一方面 2 x1 2 ．
②
则①与②矛盾，所以满足条件的点 M 不存在．
椭圆的标准方程为： x2 y2 1 ； 4 16
说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖 的，因而要考虑两种情况．
例 2 已知椭圆 x2 y2 1 的离心率 e 1 ，求 k 的值．
k 8 9
2
分析：分两种情况进行讨论．
解：当椭圆的焦点在 x 轴上时， a2 k 8 ， b2 9 ，得 c 2 k 1．由 e 1 ，得 k 4 ． 2
cos
sin
件0
例 5 已知动圆 P 过定点 A 3，0，且在定圆 B：x 32 y2 64 的内部与其相内切，
求动圆圆心 P 的轨迹方程．
分析：关键是根据题意，列出点 P 满足的关系式．
解：如图所示，设动圆 P 和定圆 B 内切于点 M ．动点 P 到两定点，
即定点 A 3，0和定圆圆心 B3，0距离之和恰好等于定圆半径，
值．一般地，求 AM 1 MF 均可用此法． e
解：由已知： a 4 ， c 2 ．所以 e 1 ，右准线
．
2
l：x 8
过 A 作 AQ l ，垂足为 Q ，交椭圆于 M ，故
MQ 2 MF
．显然 AM 2 MF 的最小值为 AQ ，即 M 为所求点， yM 3 ，且 M 在椭圆上．故 xM 2 3 ．所以
例2
已知椭圆方程
x2 a2
y2 b2
1a
b
0，长轴端点为
A1 ，
A2 ，焦点为 F1 ， F2 ，
P 是椭圆上一点， A1PA2 ， F1PF2 ．求： F1PF2 的面积（用 a 、 b 、 表
示）．
分析：求面积要结合余弦定理及定义求角
的两邻边，从而利用
S
1 2
ab sin C
求面
积．
(b 1) ，求 P 到左准线的距离．
分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．
围．
x2
解：方程可化为
y2
1．因为焦点在 y 轴上，所以
1
1
0．
1
1
cos sin
sin cos
因此 sin
0 且 tan
1
从而
(
,
3)．
24
1
说明：(1)由椭圆的标准方程知
0，
1
0 ，这是容易忽视的地方．
sin
cos
(2)由焦点在 y 轴上，知 a2 1 ， b2 1 ． (3)求 的取值范围时，应注意题目中的条
因此
M 2 3，3
．
说明：
本题关键在于未知式
AM
2 MF
中的“2”的处理．事实上，如图， e
1
，即
MF
பைடு நூலகம்
是M
到右
2
3
准线的距离的一半，即图中的 MQ ，问题转化为求椭圆上一点 M ，使 M 到 A 的距离与到右准线
距离之和取最小值．
例2
x2
已知椭圆
4b 2
y2 b2
1 上一点 P 到右焦点 F2 的距离为 b
1.椭圆第一定义的应用
椭圆经典例题分类汇总
例 1 椭圆的一个顶点为 A2，0，其长轴长是短轴长的 2 倍，求椭圆的标准方程．
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．
解：（1）当 A2，0为长轴端点时， a 2 ， b 1，
椭圆的标准方程为： x2 y2 1 ； 41
（2）当 A2，0为短轴端点时， b 2 ， a 4 ，
例 3 已知方程 x2 y2 1表示椭圆，求 k 的取值范围． k 5 3k
k 5 0, 解：由 3 k 0, 得 3 k 5 ，且 k 4 ．
k 5 3 k, ∴满足条件的 k 的取值范围是 3 k 5 ，且 k 4 ．
说明：本题易出现如下错解：由
k 3
5 k
0, 0,
例1
已知椭圆
x2 4
y 3
2
1，
F1 、
F2 为两焦点，问能否在椭圆上找一点 M
，使
M
到左准线 l
的距
离
M
M的N坐标是；M若F1不与存M在F，2 请的说等明比理中由项．？若存在，则求
出点
解：假设 M a 2，b
存在，设 M 3 ，∴ c
1x，1，ey1 1，．由已知条件
得
2
∵左准线 l 的方程是 x 4 ，
即 PA PB PM PB BM 8 ．∴点 P 的轨迹是以 A ， B 为两焦点，
半长轴为 4，半短轴长为 b 42 32 7 的椭圆的方程： x2 y2 1 ． 16 7
说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这 是求轨迹方程的一种重要思想方法． 2.焦半径及焦三角的应用