椭圆的常见题型及其解法(一)
椭圆是圆锥曲线的内容之一，也是高考的热点和重点，椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习，笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨，希望对学习椭圆的同学有所帮助.
一、椭圆的焦半径
椭圆上的任意一点到焦点F 的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。

在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。

1.公式的推导
设P （
，
）是椭圆上的任意一点，
分别是椭圆的左、右焦点，椭圆
，求证，。

证法1：。

因为，所以
∴
又因为，所以
∴
，
证法2：设P 到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知
11
PF e d ，又
，所以，而。

∴
，。

2.公式的应用
例1 椭圆上三个不同的点A （）、B （）、C （）到焦点F （4，
0）的距离成等差数列，则
12
x x + .
解：在已知椭圆中，右准线方程为
25
4x =
，设A 、B 、C 到右准线的距离为
，
则、、。

∵
，
，
，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。

∴，即，。

例2.12,F F
是椭圆22
14x y +
=的两个焦点，P 是椭圆上的动点，求
的最大值和最
小值。

解：设
，则1020332,2.PF x PF x =+
=-2
12034.4
PF PF x ⋅=- P Q 在椭圆上，022x ∴-≤≤，12PF PF ⋅的最大值为4，最小值为1.
变式练习1：. 求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB 的长度。

解：由已知可得
，所以直线AB 的方程为
，代入椭圆方程得
设
，则
，从而
变式练习2. 设Q 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上任意一点，求证：以2QF （或1QF ）为
直径的圆C 与以长轴为直径的圆相内切。

证明：设，圆C 的半径为r
即
也就是说：两圆圆心距等于两圆半径之差。

故两圆相内切 同理可证以
为直径的圆与以长轴为直径的圆相内切。

3.椭圆焦半径公式的变式
P 是椭圆上一点，E 、F 是左、右焦点，PE 与x 轴所成的角为，PF 与x 轴所成的角为，c 是椭圆半焦距，则（1）；（2）。

P 是椭圆上一点，E 、F 是上、下焦点，PE 与x 轴所成的角为，PF 与x 轴所成的角为，c 是椭圆半焦距，则（3）；（4）。

证明：（1）设P 在x 轴上的射影为Q ，当不大于90°时，在三角形PEQ 中，有
|
|||||cos PE c
x PE EQ P +==
α 由椭圆焦半径公式（1）得 。

消去后，化简即得（1）。

而当大于90°时，在三角形PEQ 中，有|
|||||)cos(PE x c PE EQ P
--==
-απ ， 以下与上述相同。

（2）、（3）、（4）的证明与（1）相仿，从略。

4.变式的应用
对于椭圆的一些问题，应用这几个推论便可容易求解。

例1. （2005年全国高考题）P 是椭圆上一点，E 、F 是左右焦点，过P 作x 轴的垂线恰
好通过焦点F ，若三角形PEF 是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是___________。

解：因为PF ⊥EF ，所以由（2）式得 。

再由题意得
222222
0222||||e a ac c ac c a a
b c PF EF ⇒=-+⇒=-⇒=⇒=＋。

注意到。

例2. P 是椭圆上且位于x 轴上方的一点，E ，F 是左右焦点，直线PF 的斜率为，求三角
形PEF 的面积。

解：设PF 的倾斜角为，则：。

因为a ＝10，b ＝8，c ＝6，由变式（2）得
所以三角形PEF 的面积
3247
3462721sin ||||21===
××××βEF PF S 变式训练1.经过椭圆的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A ，B 两点，若，
求椭圆的离心率。

解：由题意及变式（2）得 化简得。

变式训练2.设F 是椭圆的上焦点，共线，共线，且＝0。

求四边形PMQN 面积的最大值和最小值。

解：设PF 倾斜角为，则由题意知PF ⊥MF ，所以MF 倾斜角为90°＋α，而，由题意及（3）式得
同理得。

由题意知四边形PMQN 面积
α
αα
αααα
α4cos 17322sin 816cos sin 4816
cos sin 24cos 222sin 222212222222-=
+=+=
+=--=·
· 当时，；当时，＝。

二 椭圆的焦点弦
设椭圆方程为22222
221(0,)x y a b c a b a b
+=>>=-过椭圆右焦点且倾斜角为
()2πθθ≠的直线方程为sin ()cos y x c θ
θ
=-，此直线交椭圆于,A B 两点，求焦点弦AB 的长.
例1、已知椭圆的长轴长AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设X PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长？
分析：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而22=b ，故由焦
点弦长公式θ2222
21cos 2c a ab F F -=及题设可得：
24cos 816)22(4222=-⨯⨯α，解得αcos ±=22-，即α=arc 22cos -或arc -π22cos -。

例2、在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的准线为Y 轴，直线l 通过点F ，且倾斜角为3
π
，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为516，求椭圆E 的
方程。

分析：由题意可设椭圆E 的方程为1)1()3(2
2
22=-+--b
y a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线为Y 轴，故有32
+=c c
a （1）， 又由焦点弦长公式有3
cos 22
222
π
c a ab -=
5
16
（2）又 222c b a += （3）。

解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：42
=a ，32
=b ，1=c ，
从而所求椭圆E 的方程为
13
)1(4)4(2
2=-+-y x 。

变式训练1、已知椭圆C ：12222=+b
y a x （0>>b a ），直线1l ：1=-b y
a x 被椭圆C
截得的弦长为22，过椭圆右焦点且斜率为3的直线2l 被椭圆C 截得的弦长是它的长轴长的
5
2
，求椭圆C 的方程。

分析：由题意可知直线1l 过椭圆C 的长、短轴的两个端点，故有82
2
=+b a ， （1）
又由焦点弦长公式得θ2222cos 2c a ab -=54a ， （2） 因tan
θ=3，得3
π
θ=，（3） 又 2
2
2
c b a += （4）。

解由（1）、（2）、（3）、（4）联列的方程组得：62
=a ，22
=b ，
从而所求椭圆E 的方程为12
62
2=+y x 。

例3.已知椭圆22
132
x y +=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交椭圆于,B D 两点，过2F 的直线交椭圆于,A C 两点，且AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积的最小值.。