第六章 万有引与航天 2009-4-12知识框架：122m m r :-:::F G ,,,,()V,,T (,,)G ω⎧⎨⎩-⎧⎪-=⎨⎪-⎩⎧⎪⎨⎪⎩动力学特征万有引力提供向心力研究的对象天体运动运动学特征匀速圆周运动行星运动开普勒三定律内容万有引定定律公式引力常量的测量卡迪许扭秤实验发现新星天体质量密度的测定卫星的发射运行变轨返回人造卫星宇宙飞船线速度角速度周期与轨道半径的关系万有引力定律的应用宇宙速度第一宇宙速度第二宇宙速度第三宇宙速度宇宙大前沿知识,⎧⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎩爆炸理论中子星双星系统黑洞 知识要点：一、开普勒行星三定律１．开普勒行星三定律将行星的运动描述得更加完善。

２．开普勒行星三定律的内容。

第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。

开普勒第一定律又叫轨道定律。

第二定律：对每一个行星而言，太阳与行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积，开普勒第二定律又叫面积定律。

第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。

开普勒第三定律又叫做周期定律。

以Ｔ１、Ｔ２表示两个行星的公转周期，a １、a ２表示两个行星椭圆轨道的半长轴，则周期定律可表示为K T a =33或22322131T a T a =，比值Ｋ是与行星无关而只与太阳有关的恒量。

中学阶段行星的运动轨道按圆轨道处理。

所以有K T r =33或22322131T r T r =（其中r 是行星的轨道半径）二、万有引力定律（一）万有引力定律1．内容：自然界中的任何两个物体都相互吸引，引力的大小与两个物体的质量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。

引力的方向在两物体的连线上。

2．公式：2rMm GF = Ｇ为万有引力常量Ｇ＝6.67×10-11N ·m 2/kg 2 3．适用条件：适用于相距离很远的，可以看作质点的物体间的相互作用，质量分布均匀的球体也可用此公式计算，其中r 指球心间距离。

当两个物体间距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。

【例1】----两个物体间万有引力大小的计算。

如右图所示，在一个半径为Ｒ，质量为m '的均匀球体中，紧贴球边缘挖去一个半径为2R的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d 的质点m 的引力是多大？分析：完整的均质球体对球外质点m 的引力：dm m G F '=。

这个引力可以看成是挖去球穴后的剩余部分对质点的引力1F 与半径为2R 的小球对质点的引力2F 之和，即：Ｆ＝1F ＋2F 解：设半径为2R 的小球质量为m 2，则：m m R m R R '=⋅=⋅='81323432342334)()(ππρπ，所以:222)(8)(2R R d m m d mm G G F -'-⋅==。

故挖去球后的剩余部分对球外质点m 的引力为：22222222)(8287)(821R R d d R dR d d m m d m m m m G G G F F F -+--''⋅'=-=-= 点评：有的同学认为，可以先设法求出挖去球穴后的重心位置，然后把剩余部分的质量集中于这个重心上，再应用万有引力公式求解。

事实上这是不正确的，万有引力公式F =21r mm G 只能运用于两个质点或均匀的球体，挖去球穴后的剩余部分已不再是均质球了，不能直接使用公式F =221r m m G计算引力，本题巧妙利用“填补法”将万有引力的计算转化，使符合公式F =221r m m G 的适用条件，进行分析计算，值得注意的是，上述解答中F =1F +2F ，当F 、1F 、2F 不在一条直线上时，应是矢量运算，遵循平行四边形定则。

（二）引力常量的测量1．卡文迪许实验卡文迪许实验的巧妙在于通过两次“放大”将非常微小的力测出来，一是利用了较长的“⊥”型架，并在两端附近对称地放上两个大质量金属球，使微弱的力有了明显的力矩，二是在悬挂“⊥”型架的金属丝上安装了一面平面镜，将入射光反射到远处的刻度尽上，金属丝的的微小转动使反射光点在刻度尽上有较大距离的移动。

2．测定引力常量的意义如果没有引力常量G 的测出，万有引力定律只有理论意义，而无更多的实际意义，正是由于卡文迪许测出了引力常量G ，才使得万有引力定律在天文学领域的发展上起了重要作用。

（三）万有引力定律的应用1．研究天体（包括自然、人造）运动的基本方法一是天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即：222rv m r Mm G =＝r T m 224πr m 2ω=； 实际问题中，可根据不同的情况选择公式进行分析和计算。

二是地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即：G 2RmM ＝mg 从而得出：GM ＝R 2g 。

另外要注意综合圆周运动的有关公式：如ω＝Tπ2，v=ωr 等。

说明：人造卫星及天体的运动都近似为匀速圆周运动。

※万有引力与重力的区别和联系重力是由万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力。

重力实际上是万有引力的一个分力，另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力。

如右图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力也不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g 随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大。

即赤道上g 约为9.78m/s 2，在两极约为9.83m/s 2。

2．具体应用（1）测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力）通过观察测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T ，则由牛顿运动定律得： 由r T m r Mm G 222⎪⎭⎫ ⎝⎛=π 得2324GT r M π= 又ρπ⋅=334R M 得3233RGT r πρ= （R 为天体的半径） 当卫星绕天体表面做匀速圆周运动时，有R r =，则：23GTπρ= 【例2】某个行星可视为半径为R 的球体，它有一沿着半径为10R 的轨道做匀速圆周运动的卫星，已知卫星的运动周期为T ，求：（1）行星的平均密度；（2）卫星运动的加速度；（3）行星表面的“重力加速度”。

解：（1）行星对卫星的引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，设行星质量为m '，卫星质量为m ，卫星绕行星运行的轨道半径为r ，根据牛顿第二定律，有：r Tm r m m G 2224π='。

解得行星质量为：2223104GTR m π⨯=' 行星的体积为： 334R V π= 根据密度的定义式可得行星的平均密度为：23103GT V m πρ⨯='= （2）卫星做匀速圆周运动的向心加速度为：222210)2(10TR T R r a ππω=⋅== （3）根据牛顿第二定律，卫星的加速度为：22/rm G m r m m G m F a '='== 由上式可知21r a ∝，设行星表面的“重力加速度”为行g ，则有：2Rm G g '=行。

故：100)10(2222===R R R r a g 行，解得： 223104100T R a g π⨯==行 点评：研究天体运动要认真领会万有引力提供天体公转所需的向心力，即F =ma rm mG ='2向心加速度根据具体问题有多种表达式可供选用。

值得注意的是，卫星的向心加速度和行星表面的“重力加速度”（不考虑其自转）都是由万有引力产生的，即2rmG a '=。

【例3】组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速度，如果超过了该速度，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动，由此能得到半径为R ，密度为ρ，质量为M 且均匀分布的星球的最小自转周期T 。

解析：设有质量为m 的物体在赤道附近随星球一起做匀速圆周运动，根据R Tm R Mm G 2224π= ① ρπ⋅=334R M ② 可得：GM R T 32π= 或 ρπG T 3= 点评：星球的最小周期可以用R ，M 表示，也可以用ρ表示，这类问题常出现在选择题中，因此解答过程不要漏解。

（2）求地球表面的重力加速度g 和轨道上的重力加速度h g （重力近似等于万有引力） 在不考虑地球自转情况下，地球表面重力的大小等于物体与地球间的万有引力。

G 2R mM ＝mg 2R GM g =∴ 若是在其它星体的表面，其重力加速度也可以用此法求得：2星星星R GM g =轨道重力加速度：()()22h R GMg mg h R GMmh h +=∴=+利用思维迁移法就是将在地球上所使用的方法、规律迁移到其它的星球上去。

【例4】在21世纪，设我国有一宇航员踏上一半径为R 的球状星体，该宇航员在该星体上能否用常规方法测量出该星球的质量？如果能，需要何种常用器材？你能设想出几种方法？分析：根据在星球表面星球与宇航员的万有引力近似于宇航员的重力，有：mg R m m G ='2可得GgR m 2='。

只要测出该星球表面的重力加速度，即可测出星球的质量。

解：方法一：在星球表面用天平称量某物体A 的质量m ，再用弹簧测力计悬吊物体A 处于平衡状态，读出弹簧测力计的示数F ，则有：mg F =，即m F g /=。

所以，该星球的质量为：GmFR m 2='。

方法二：使一物体由静止开始自由下落，用米尺测量落下的高度h ，用秒表测量落下的时间t ，则有：221gt h =，即22th g =。

所以，该星球的质量为： 222Gt hR m =' 方法三：在星球表面上，两次用相同的力竖直上抛和平抛同一物体，使两次抛出的初速率相等，用秒表测出从竖直上抛到落回抛出点的总时间t 0，再用卷尺测出平抛的水平射程s 和下落高度h ，即可求出g 值。

由平抛运动知识知：t v s 0=，221gt h =。

消去t ，得：h sv g 2220⋅=。

① 由竖直上抛运动知识有：200t g v ⋅=。

② 将②代入①，消去0v ，得：2022ht s g =。

故该星球的质量可表示为：20222Ght R s m ='。

点评：运用基本知识原理，进行实验设计，这是研究性学习的重要形式，也是创新能力培养的重要途径，本题围绕天体质量的间接测量，运用三种不同的方法来实现，其目的是开拓创新思维空间，这也是新一轮教改的目标要求。

※【例5】“黑洞”是爱因斯坦的广义相对论中预言的一种特殊天体，它的密度极大，对周围的物质（包括光子）有极强的吸引力。

根据爱因斯坦理论，光子是有质量的，光子到达黑洞表面时也将被吸入。

最多恰能绕黑洞表面做圆周运动，根据天文观测，银河系中心可能有一个黑洞，距该可能黑洞6.0×1012m 远的星体正以2.0×106m/s 的速度绕它旋转，据此估算该可能黑洞的最大半径R 是多少？（保留一位有效数字）分析：黑洞作为一种特殊天体一直受到广泛的关注，种种迹象表明它确实存在于人的视野之外。