反门女样《火修物理》B上律程期彳试蒙
参旁答案
11-12学年第2学期（2012. 4.）
1. （15 分）
一质点以初速度u°沿水平方向做一维运动，其受到的阻力与速度成正比。

求: （1）任一时刻质点的速度；
（2）若计时开始时质点位于坐标原点，求质点的运动方程；
（3）当质点经过距离尤时，其速度多大？
v = v()e m
/ c、—1dx
(2) •/ v = v(}e m =—o
dt
=>
/c、- dv dx invdv
(3) •/-kv = m ---------- = ------- n
dt dx dx
k
:.V = v0 ---- X
m
r e/v=-(-dx ，
如Jo m
(3*5=15 分)
2. （15 分）
质点在xoy平面内运动，其速度为为：v=2T-4ij ,计时开始时质点的气=19亍，试求: （1）质点的运动方程；
（2）当质点的位置矢量与速度矢量恰好垂直时，将发生在什么时刻？
（3）求，时刻质点的切向加速度和法向加速度的大小。

解：（1）・.・° = 2「一祯=£ => [苗=｛（2；—4万0 ,
运动方程：r（r） = 2r7 + （19-2r2）7
（2）令：r-v=\2ti +（19-2r）7]-（2Z-4（/） = 8f3-72/ = O ,
(2)
(4)
E F x 玲叫=(；+ j) X (― 12「+ 8 j) = 20，(河质)；
标T =
I = F(t)dt = [(一 12； + 8jW = —6「+ 8j(N.s)； W =
f(—12行+ 而)・(—3声+ 4万帅=f(36/+ 321)0=25(/), 另：W — \E K — — mv 2.]—冲，=—x2x52 —0 = 25(/)
八 2 「= 2 ，=u 2 、
(4*4=16 分)
4. （12 分）
如图所示，将一质量为m 的物体放在一个以每秒"转的恒定速率绕竖直轴
转动的漏斗中，漏斗壁与水平面成。

角。

设物体与漏斗壁间的最大静摩擦系
3.
得：£] = 0 ”2 = 3(s) ，t 3 = 一3(s)(不合题意,舍去); /C 、 - 如 「
(3) a = — = -4j
=>
dt
（16
a = 4
v = 2A /1 +4r 2
4、。

(3*5=15 分) Jl+4 厂
—质量为m = 2kg 的质点在&平面内运动，运动方程为：了。

） = ［（2 - f ）i +（2/-1），（贞）.
试求：（1），= l （s ）时质点所受的合力£,=1）;
(2) t = l （s ）时合力F 对坐标原点的力知脱
（F ；
(3) t = 0（5）至t = l （s ）时间内合力对质点
(4) / = 0（s ）至/ = l （s ）时间内合力对质点所
解：,/? = — = dt
(1) dv -
a = — = -6ti + 4 / ；
dt
£f=& = T2： + 8j(N)；
-3ri +4疗
数为外,物体到转轴的距离为r °当物体与漏斗保持相对静止时，求刃应满足的条件。

(*ax
1 g(sin0 + //O cos O')
2TT V r(cos 0 - % sin 9)
max
g(sinQ +
〃oCOS 。

)) 尸(cos
0— 以o sin 仅)
(5分)
― =J g(sin 。

"cos 。

) 乏 M ，N
I TI V r(cos 0 + A 。

sin
3)
（5分）
解：当，较大时，物体有向上滑动的趋势，摩擦力方向向下，假设支持力为N,
则临界点满足:
N sin 0 + "oN cos 0 = mror - /nr4^2v max 2 N cos 0 一 〃()N sin 0 一 mg = 0
解得:v =_L 豚⑸展+ #°cosS max
2zr y r(cos 0 - sin 0)
当"较小时•，物体有向下滑动的趋势，摩擦力方向向上，临界点满足: N sin 。

一 KN cos 0 = mrar = rn/4^2v min 2
N cos 0 + sin 0 - mg =0
解得：z 抨哇可
2TC V r(cos u + % sin Q)
g(sin0-#ocos 。

)) r(cos 0 + A 。

sin 6)
（所以，口的范围应为：V - V 0。

） （2分）
5. （12 分）
如图所示，劲度系数为&的弹簧沿竖直方向安放在地面上，其顶端连
着一质量为M 的物体B,系统处于平衡状态并保持静止。

今有一•质量为 m 的物体A 自离物体B 高*处自由落下，与B 发生完全非弹性碰撞。

试 求：碰撞后弹簧对地面的最大压力。

解：（1）朋自由落下至碰撞前：
〃获碰前初速度*=丽 ,
M 碰前压缩弹簧：Mg = kAx° =＞怂0 =；
（2） m、M发生完全非弹性碰撞过程:
mv 0 = (m + M)v n v =
(m + M) (m + M)
方向向左,
（3） m 、竹运动到最低点，弹簧被压缩最大形变Axq
—(m + A/)v 2
+ —RAxj = —&&•，- (in + M)g(Ax ni - Ax 0)
(m + M)g mg /
(〃2 + M )g
（4）碰撞后弹簧对地面的最大压力:
2kh
现=心=（〃口）5寸+岳疝
（每个阶段的动力学方程各得3分）
6.
（15 分）
B
—根质量m 为，长为I 的均匀细棒AB 可绕一,水平的光滑转轴0 ;.
在竖直平面内转动。

轴离A 端的距离为%,如图所示。

今使细棒 从静止开始由水平位置绕。

轴转动。

试求：
i x °
（1）细棒对。

轴的转动惯量/。

; （2）
细棒转至。

角度时的角加速度奶和角速度以
（3） 细棒转至竖直位置时（。

=兰），8端的速度万和加速度 解：(1)细
棒对。

轴的转动惯量：
J o = J +md 2 = —ml 2 +/n(—)2 =—ml 2 ； ° ' 12 4 48 (2)由转动定律：—mg cosd = —ml 2/3 => ” 二 ^^~cos 。

；
4 48 7/
由机械能守恒定律：mg - sin 6^ = - x (— ml 2 )co 2 =>
69 =
J^&sin 。

；
4 2 48 V 7/
（3）当。

=生时，” =0 ， 口 = \空
3 6
/. v = rco = —.\—
2 V7
方向竖直向下。

a r = r/3 = 0
一 18 一 a - ―^
V 2 18 => 方向指向。

点。

〃一 -n 8
7 r 7
(3*5=15 分)
7. （15 分）
如图所示，空心圆环可绕竖直轴AC 自由转动，转动惯量为J ,环
的半径为&。

初始时，环的角速度为刃°,质量为m 的小球静止在环内 最高处A 点。

由于微扰，小球沿环向下滑动。

求：小球滑至与环心在 同一高度的B 点时，环的角速度饥及小球相对于环的速度T 。

（忽略一切摩擦，小球可视为质点，且环截而半径远小于R ）
解:（1）当小球滑至B 点，环和小球具有相同的角速度饥,
小球与圆环系统角动量守恒：J （%=（J +相2）
）〃
可知纯=7^ ；
（2）小球相对地面速度：v = v 0 + v z ,且v 0±v r
（4
/. I 广=扃 + V = (R (%)~ + V （2
分）
下滑过程中系统机械能守恒： —J + mgR — — J + —
=—J a)% H —m(Ra )B )~ H —inv
2 2 2
— J (0^ + ingR = — (J + mR~ )(D 三 H — mv r ~ 解得：
92 （4分）
（4。