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二次函数中考复习专题教案

二次函数中考复习专题教学目标:(1)了解二次函数的概念,掌握二次函数的图象和性质,能正确画出二次函数的图象,并能根据图象探索函数的性质;(2)能根据具体条件求出二次函数的解析式;运用函数的观点,分析、探究实际问题中的数量关系和变化规律。

教学重点◆ 二次函数的三种解析式形式 ◆ 二次函数的图像与性质教学难点◆ 二次函数与其他函数共存问题◆ 根据二次函数图像的对称性、增减性解决相应的综合问题教学过程一、 数学知识及要求层次二次函数知识点1、二次函数的解析式三种形式 一般式 y=ax 2 +bx+c(a ≠0) 顶点式 2()y a x h k =-+ 交点式 12()()y a x x x x =--2、二次函数图像与性质 对称轴:2b x a=-顶点坐标:24(,)24b ac b a a-- 与y 轴交点坐标(0,c )增减性:当a>0时,对称轴左边,y 随x 增大而减小;对称轴右边,y 随x 增大而增大当a<0时,对称轴左边,y 随x 增大而增大;对称轴右边,y 随x 增大而减小二次函数图像画法:勾画草图关键点:○1开口方向;○2对称轴;○3顶点;○4与x 轴交点;○5与y 轴交点。

图像平移步骤(1)配方 2()y a x h k =-+,确定顶点(h,k ); (2)对x 轴 左加右减;对y 轴 上加下减。

二次函数的对称性二次函数是轴对称图形,有这样一个结论:当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴122x x x +=根据图像判断a,b,c 的符号 (1)a ——开口方向(2)b ——对称轴与a 左同右异 3.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴交点的横坐标x 1, x 2 是一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)的根。

抛物线y=ax 2 +bx+c ,当y=0时,抛物线便转化为一元二次方程ax 2 +bx+c=024b ac ->0时,一元二次方程有两个不相等的实根,二次函数图像与x 轴有两个交点; 24b ac -=0时,一元二次方程有两个相等的实根,二次函数图像与x 轴有一个交点;24-<0时,一元二次方程有不等的实根,二次函数图像与x轴没有交点b ac4.二次函数的应用如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等【典型例题】题型 1 二次函数的概念例1.二次函数2=--+的图像的顶点坐标是()y x x365A.(-1,8) B.(1,8) C(-1,2) D(1,-4)例2.下列命题中正确的是○1若b2-4ac>0,则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3○2若b2-4ac=0,则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有一个交点,且这个交点就是抛物线顶点。

○3当c=-5时,不论b为何值,抛物线y=ax2+bx+c一定过y轴上一定点。

○4若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点,则方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根。

○5若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点A、B,与y轴交于c点,c=4,S△ABC=6,则抛物线解析式为y=x2-5x+4。

○6若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点在x轴下方,则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根。

○7若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点,则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为0。

○8若a-b+c=2,则抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)必过一定点。

○9若b2<3ac,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴一定没有交点。

○10若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,则函数y=cx2+bx+a的图象与x轴必有两个交点。

○11若b=0,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点一个在原点左边,一个在原点右边。

题型2 二次函数的性质24=+-y ax bx例3 若二次函数 的图像开口向上,与x 轴的交点为(4,0),(-2,0)知,此抛物线的对称轴为直线x=1,此时 时,对应的y 1 与y 2的大小关系是( )A .y 1 <y 2 B. y 1 =y 2 C. y 1 >y 2 D.不确定 【举一反三】变式1:已知12(2,),(3,)q q 二次函数22y x x m =-++上两点,试比较12q q 与的大小 变式2:已知12(0,),(3,)q q 二次函数22y x x m =-++上两点,试比较12q q 与的大小变式3:已知二次函数2y ax bx m =++的图像与22y x x m =-++的图像关于y 轴对称,12(2,),(3,)q q --是前者图像上的两点,试比较12q q 与的大小题型3 二次函数的图像例4 如图所示,正方形ABCD 的边长为10,四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD 的顶点上,且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直,若小正方形的边长为x ,且0<x ≤10,阴影部分的面积为y ,则能反映y 与x 之间的函数关系的大致图像时( )题型4 二次函数图像性质(共存问题、符号问题)例5、函数y =ax +1与y =ax 2+bx +1(a ≠0)的图象可能是( )例 6 已知=次函数y =ax 2+bx+c 的图象如图.则下列5个代数式:ac ,a+b+c ,4a -2b+c , 2a+b ,2a -b 中,其值大于0的个数为( ) A .2B 3C 、4D 、5A .B .C . 1111xo y yox yoxxo yADBC121,2x x =-=10 100 A10 100 B100 5 C10010D题型5 二次函数的平移例7.将抛物线22y x =向下平移1个单位,得到的抛物线是( ) A .22(1)y x =+B .22(1)y x =-C .221y x =+D .221y x =-题型6 二次函数应用销售利润类问题例8 某商品的进价每件为50元,现在的售价为每件60元,每星期可卖出70件,市场调查反映:如果每件的售价每涨10元(售价每件不能高于140元),那么每星期少卖5件,设每件涨价x 元(x 为10的正整数倍),每周销售量为y 件 。

⑴ 求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围。

⑵ 如何定价才能使每周的利润最大且每周销量较大?每周的最大利润是多少?题型7 二次函数与几何图形综合(面积、动点)例9 已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象经过点(10)A ,,(20)B ,,(02)C -,,直线x m =(2m >)与x 轴交于点D .(1)求二次函数的解析式;(2)在直线x m =(2m >)上有一点E (点E 在第四象限),使得E D B 、、为顶点的三角形与以A O C 、、为顶点的三角形相似,求E 点坐标(用含m 的代数式表示);(3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点F ,使得四边形ABEF 为平行四边形?若存在,请求出m 的值及四边形ABEF 的面积;若不存在,请说明理由.【基础达标训练】一、选择题1、抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是( )A .(2,3)B .(-2,3)C .(2,-3)D .(-2,-3) 2.二次函数2(1)2y x =++的最小值是( ). A .2 B .1 C .-3 D . 233.抛物线22()y x m n =++(m n ,是常数)的顶点坐标是( )A .()m n ,B .()m n -,C .()m n -,D .()m n --,4.根据下表中的二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数y 的对应值,可判断二次函数的图像与x 轴( ) A .只有一个交点B .有两个交点,且它们分别在y 轴两侧C .有两个交点,且它们均在y 轴同侧 D. 没有交点论:5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结而增0ac >①;②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0;y ③随x 的增大大;④0a b c -+<,其中正确的个数()A .4个B .3个 C2个 D .1个6. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示,若点A (1,y 1)、B (2,y 2)是它图象上的两点,则y 1与y 2的大小关系是( )A .21y y <B .21y y =C .21y y >D .不能确定7.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy x++=在同一坐标系内的图象大致为() 8.向上发射一枚炮弹,经x 秒后的高度为y 公尺,且时间与高度关系为y =ax 2+bx 。

若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则再下列哪一个时间的高度是最高的?(A) 第8秒 (B) 第10秒 (C) 第12秒 (D) 第15秒 。

9、抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线( ) A .1x =B .1x =-C .3x =-D .3x =x … -1 0 1 2 …y … -1 -2 …xyO1 y x Oy x O B C y x O A yx O D 1O xy10.把二次函数3412+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式A.()22412+--=x yB. ()42412+-=x yC.()42412++-=x yD. 321212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y二、填空题11、图6(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l 时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m ,水面宽4m .如图6(2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是_____________12.把抛物线y =ax 2+bx+c 的图象先向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得的图象的解析式是y =x 2-3x+5,则a+b+c=__________13.请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 . ①过点(31),;②当0x >时,y 随x 的增大而减小; ③当自变量的值为2时,函数值小于2.14.如图7,⊙O 的半径为2,C 1是函数y =12x 2的图象,C 2是函数y =-12x 2的图象,则阴影部分的面积是 .15.抛物线2y x bx c =-++的部分图象如图8所示,请写出与其关系式、图象相关 的2个正确结论: , .(对称轴方程,图象 与x 正半轴、y 轴交点坐标例外)16.将一条长为20cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是 cm 2. 17.若抛物线 与 的两交点关于原点对称,则a b 、分别为 . 三、解答题19.某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且图6(1) 图623y ax bx =++232y x x =-++获利不得高于45%,经试销发现,销售量y (件)与销售单价x (元)符合一次函数y kx b =+,且65x =时,55y =;75x =时,45y =.(1)求一次函数y kx b =+的表达式;(2)若该商场获得利润为W 元,试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式;销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元。

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