6.1 二次函数
一.学习目标
1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义。
2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。
二.知识导学
（一）情景导学
1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S 与半径r 之间的函
数关系式是 。
2．用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔,怎样围可使小兔的活动范围较大?
设长方形的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么变量y 与x
之间的函数关系式为 .
3．要给边长为x 米的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢
脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8米，那么总费用y 为多少元？
在这个问题中，地板的费用与 有关，为 元,踢脚线的费用与 有关，为 元；其他费用固定不变为 元，所以总费用y （元）与x （m ）
之间的函数关系式是 。
（二）归纳提高。
上述函数函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不
同？。
一般地，我们称 表示的函数为二次函数。
其中
是自变量， 函数。
一般地，二次函数c bx ax y ++=2中自变量x 的取值范围是 ，你能
说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？
（三）典例分析
例1、判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a.b.c 的值.
(1) y ＝1— 23x (2)y ＝x(x －5) (3)y ＝
x 21－23x ＋1 (4) y ＝3x(2－x)＋ 3x 2
(5)y ＝
12312++x x (6) y ＝652++x x (7)y ＝ x 4＋2x 2－1 (8)y ＝ax 2＋bx ＋c
例2．当k 为何值时，函数1)1(2+-=+k k x
k y 为二次函数？
例3．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．
⑴正方体的表面积S （cm 2）与棱长a （cm ）之间的函数关系；
⑵圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；
⑶某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所
存年数x 之间的函数关系；
⑷菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的
函数关系．
三.巩固拓展
1.已知函数72)3(--=m x m y 是二次函数，求m 的值.
2. 已知二次函数2ax y =，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y 的值．
3.一个长方形的长是宽的1.6倍，写出这个长方形的面积S 与宽x 之间函数关系式。
4.一个圆柱的高与底面直径相等，试写出它的表面积S 与底面半径r 之间的函数关系式
5.用一根长为40 cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积y 与它的半径x 之间的
函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r 的取值范围．
6. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长2.5 m ．
⑴求隧道截面的面积S （m 2）关于上部半圆半径r （m ）的函数关
系式； ⑵求当上部半圆半径为2 m 时的截面面积．（π取3.14，结果精确
到0.1 m 2）
课堂练习:
1.判断下列函数是否是二次函数,若是,请指出它的二次项系数、一次项系数、常数项。
（1）y=2-3x 2; (2)y=x 2+2x 3; (3)y=123
21
2+--x x ; (4)y=321
2++x x .
2.写出多项式的对角线的条数d 与边数n 之间的函数关系式。
3.某产品年产量为30台，计划今后每年比上一年的产量增长x%，试写出两年后的产量y （台）
与x 的函数关系式。
（第6题）
4.圆柱的高h(cm)是常量，写出圆柱的体积v(cm 3)与底面周长C(cm)之间的函数关系式。
课外作业：
A 级：
1.下列函数：（1）y=3x 2+x 2+1;(2)y=61
x 2+5;(3)y=(x-3)2-x 2;(4)y=1+x-2
2x ,属于二次函数的 是 (填序号).
2.函数y=(a-b)x 2+ax+b 是二次函数的条件为 .
3.下列函数关系中,满足二次函数关系的是( )
A.圆的周长与圆的半径之间的关系;
B.在弹性限度内,弹簧的长度与所挂物体质量的关系;
C.圆柱的高一定时,圆柱的体积与底面半径的关系;
D.距离一定时,汽车行驶的速度与时间之间的关系.
4.某超市1月份的营业额为200万元,2、3月份营业额的月平均增长率为x ，求第一季度营业额y （万元）与x 的函数关系式.
B 级：
5、一块直角三角尺的形状与尺寸如图，若圆孔的半径为n 81
，三角尺的厚度为16，求这块三角尺的体积V 与n 的函数关系式.
6.某地区原有20个养殖场，平均每个养殖场养奶牛2000头。
后来由于市场原因，决定减少养殖场的数量，当养殖场每减少1个时，平均每个养殖场的奶牛数将增加300头。
如果养殖场减少x 个，求该地区奶牛总数y （头）与x （个）之间的函数关系式。
C 级：
7.圆的半径为2cm ，假设半径增加xcm 时，圆的面积增加到y(cm 2).
(1)写出y 与x 之间的函数关系式；
（2）当圆的半径分别增加1cm 、cm 3时，圆的面积分别增加多少？
（3）当圆的面积为5πcm 2时，其半径增加了多少?
8.已知y+2x2=kx(x-3)(k≠2).
(1)证明y是x的二次函数；
(2)当k=-2时，写出y与x的函数关系式。