第12章习题解答12.1 求解下列本征值问题的本征值和本征函数1(1)()()0;(0)0,()0(2)()()0;(0)0,()0(3)()()0;()0,()0X x X x x x l X x X x x x l X x X x x a x b λλλ'''+===''''+===''+===【答案 2222121(1)(π),0,1,2,;()sin π22(2)(π),0,1,2,;()cos ππ(3)(π),1,2,;()sin ()n n n n n n n n n X x xl l n nn X x x l l n n n X x x a b a b aλλλ++=========---】12.2 长为l 的杆，一端固定；另一端受力0F 而伸长，求解放手杆的振动.【 答案 022011()π()π8122(1)cos sin π(21)n n n at n x F l YS n l l ∞=++-+∑】12.3 长为l 的的弦，两端固定，弦中张力为T . 在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开，然后突然撤除此力，求弦的振动. 【答案初始位移＝00()/(), (0)F l x x lT x x -<<，00000221()/()()2π1π(,)sin sin cosπn F x l x lT x x l F l n x n x n at u x t T n l l lπ∞==-<<=∑】12.4 一个长宽各为a 的方形膜，边界固定，膜的振动方程为 222222()0; (0,0)u u ux a y a t x y∂∂∂-+=<<<<∂∂∂2v 试求方形膜振动的本征频率.【答案,1,2,3,nm n m ν==】 12.5 求解细杆导热问题，杆长l ，两端保持为零度，初始温度分布为20|()/t u bx l x l ==-.【答案 2(21)π[]33081(21)πsin π(21)k a tl k b k x e k l+∞-=++∑】12.6 一根均匀弦两端固定在0,x x l ==处.假设初始时刻速度为零，而在初始时刻弦的形状是一条顶点为(/2,)l h 的抛物线。
试求弦振动的位移.【答案 33032(21)π(21)π(,)cos sin (21)πn h n at n xu x t n l l ∞=++=+∑】 12.7 解定解解问题22222, (0,),0 (1)(0,)(,)0 0 (2)(,0)(), x u ua x l t t x u t u l t t u x x ϕ∂∂=∈>∂∂==>= (3)(,0)(), (0,) (4)t u x x x l ψ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩=∈解： 用分离变量法解，令(,)()() (5)u x t T t X x = 并将(5)代入（１），(2)，得固有值问题 ''()()0 (6)(0)'()0 (7)X x X x X X l λ+=⎧⎨==⎩及 2()() (8)T t a T t λ+ 解（6）—（7）得 221()(), 0,1,2,2n n x n lλπ+== 21()sin , 0,1,2,2n n X x x n lπ+==将n λ代入（8）解得2121cossin , (0,1,2,)22n n n n n T C at D at n l lππ++=+=∴ (,)()() (0,1,2,)n n n u x t T t X x n ==叠加得212121(,)cossin sin (9)222n n n n n n u x t C at D at x l l l πππ∞=+++⎛⎫=+⎪⎝⎭∑ 令(9)满足(3),(4)得21(,0)()sin(10)2n n n u x x C x lϕπ∞=+==∑ 02121(,0)()sin (11)22t nn n n u x x Da x l lψππ∞=++==∑ 由Fourier 展式的唯一性知,n C 与212nn D a lπ+分别为()x ϕ与()x ψ关于021sin 2n n x l π∞=+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的展开式系数. ∴ l0221 ()sin d (12) 2n n C x x x l lϕπ+=⎰002221()sin d (21)2421()sin d (0,1,2,) (13)(21)2ln ll n D x x xn a l l n x x x n n a lψππψππ+=⋅++==+⎰⎰所以，带有系数（１２）～（１３）的（９）即为定解问题（１）～（４）的形式解。
12.8 解定解问题22222110, 0, 02 (1)() 0<2 (2) r Ru u ur R r r r r u f θπθθθπ=⎧∂∂∂++=<<≤<⎪∂∂∂⎨⎪=≤⎩解: 这是圆域上的Laplace 方程第一边值问题.设(1)具有变量分离形式解(,)()() (3)u r F r θθ=Φ将(3)代入（1）得221''()()''()1()()r F r F r r F r rθλθ+Φ==-Φ- 令则有 ''()()0 (4)()(2)0 (5)θλθθθπΦ+Φ=⎧⎨Φ=Φ+=⎩及2''()'()()0 (6)(0) (7)r F r rF r F r F λ⎧+-=⎪⎨<+∞⎪⎩这里条件(5)是由区域的形状及(,)u r θ的单值性决定的。
即(,2)(,)u r u r θπθ+=成立。
（(0,]r R ∈）。
而条件（7）是由问题的物理意义决定的，即(,)u r θ在圆心处有界。
问题（4）～（５）称为定解问题（１）～（２）的固有值问题。
解（４）～（５）得：2,0,1,2,n n n λ==0()1,()cos sin (1,2,)n n n a n b n n θθθθΦ=Φ=+=(,n n a b 为任意常数)将n λ代入（６）～（７）解得000()' (A'0F r A =≠为任意常数） n ()' (A'0 1,2nn n F r A r n =≠=为任意常数）∴ 0000(,)()()',2n A u r F r A θθ=Φ==(,)()()'(cos sin )n n n n n n n u r F r A r a n b n θθθθ=Φ=+cos sin (1,2,)nnn n A r n B r n n θθ=+=叠加得01(,)cos sin (8)2n n n n n n A u r A r n B r n θθθ∞==++∑令（８）满足（２）的得01(,()cos sin 2n n n n n A u R f A R n B R n θθθθ∞===++∑右端即为()f θ的Fourier 完全展示。
由于()f θ定义在[]02π，上，故应有(2)(),f f θπθ+=于是有2001() (9)A f d πθθπ=⎰201()cos (10)n n A f nd R πθθπ=⎰201()sin (11)n nB f nd R πθθπ=⎰(1,2,)n =带有系数（９）～（１１）的（８）即为定解问题（１）～（２）的解。
()()()y x u y x u y x u ,,,21+=．12.9 解定解问题222220110 0, 0 (1)0 0<r<R (2)() r R u u ur R r r r r u u u f θθαθαθθ===∂∂∂++=<<<<∂∂∂=== 0<< (3)θα⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩解： 注意到方程就关于未知函数为线性齐次的，且在0θθα==与边界上具有线性齐次边界条件,故可用分离变量法求解。
为此，设（1）有非零解(,)()() (4)u r F r θθ=Φ 代入（1）并分离变量得2''()'()''()()()r F r rF r F r θλθ+Φ==--Φ 令即兴 2''()'()()0 (5)r F r rF r F r λ+-=令（4）满足（2）得(0)()0 (7) αΦ=Φ= （6）与（7）联立得''()()0 (6)(0)()0 (7) θλθαΦ+Φ=⎧⎨Φ=Φ=⎩注意问题的物理意义知，在0r =处，应满足条件 (0,,(0) (5)'u F θ<+∞有界故（5）与(5)'联立2''()'()()0 (5)(0) (5)'r F r rF r F r F λ⎧+-=⎪⎨<+∞⎪⎩（5）是一个二群众监督齐次欧拉方程，所带条件(5)'不具可叠加性。
故应由（6）～（7）确定λ值，即（6）（7）为定解问题（1）~（3）的固有值问题。
解解（6）~（7）得固有值 2()(), 1,2,n n x n πλα==固有函数系()sin , 1,2, n n n πθθαΦ==将2()()n n x πλα=代入（5），解（5）～(5)'：令tr e =。
在（5）中变换自变量为t ，得22222d 0 (1,2,)d n n F n F n t πα-==其通解为2222(1,2,)n n ttn n n F C eD en ππαα-=+=即() (1,2,)n n n n n F r C r D rn ππαα-=+=由条件(5)'得0.n D =∴ () (1,2,)n n n F r C r n πα==于是 (,)sin (1,2,)n n n n u r C r n παπθθα==叠加这得1(,)sin(8)n n n n u r C r παπθθα∞==∑令（8）满足（3）得 1(,)sin () (9)n nn n u R C R f παπθθθα∞===∑（9）表明n n C R πα即为()f θ在[]0,α上Fourier 正弦展式的系数，即2()sin d (1,2,)n n n f C R n απαπθθθαα==⎰∴ 02()sind (1,2,)n n n C f n R απαπθθθαα==⎰代入（8）即得定解问题（1）~（3）的解。
12.10 解定解问题12221222212110 ,02 (1)()0 (2)() r r u u ur r r r r u f u f ρρρρθπθθθ==∂∂∂++=<<≤<∂∂∂=== 0<2 (3)θπ⎧⎪⎪⎪⎨⎪≤⎪⎪⎩解：这是圆环域12r ρρ<<上Laplacd 方程第一边值问题。