课题：空间向量与立体几何
考纲要求：
① 理解直线的方向向量和平面的法向量.② 能向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系、平行关系；③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理；④能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的作用.
教材复习
与b 的夹角 ,a b π<
,a b a b a b
⋅=
⋅
cos ,a b θ= 直线与平面所成的角：①直线与平面所成角的范围是a 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的一个法向量，设斜线与平面α所成的角为sin θ=cos ,a n = 3.两平面的夹角：设1n 和2n 分别是平面α和β的一个法向量，
平面α和β的夹角为θ，则cos θ=12cos ,n n =
n
l
a
1n
2n
1n
2n
a b
4.空间任意两点A 、B 间的距离即线段AB 的长度： 设()111,,A x y z 、()222,,B x y z ，则AB AB ==
.
5.点到平面距离：如右图，斜线AB 交平面α于点A ，
平面α一个法向量为n ，斜线的一个方向向量为AB ，
则点B 到平面α的距离为sin cos ,d AB AB n AB θ==⋅=
6.直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量为n ，则l ∥α⇔ .
7.直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量为n ，则l α⊥⇔ .
8.平面α的法向量为1n ,平面β的法向量为2n ,则αβ⊥⇔ .
9.平面α的法向量为1n ,平面β的法向量为2n ,则α∥β⇔ .
典例分析：
考点一 异面直线所成的角
问题1． （2012陕西）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为
.
A 55 .
B 53 .
C 255 .
D 35
考点二 直线和平面所成的角
问题2．（2013山东）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，体积为
9
4
，底面
的正三角形.若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为
.A
512π .B 3π .C 4π .D 6
π
考点三 平面和平面的夹角
问题3． （2013陕西）如图, 四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, 1A O ⊥平面ABCD
, 1AB AA ==()1证明: 1A C ⊥平面11BB D D ； ()2求平面1OCB 与平面11BB D D 的夹角θ的大小.
1
A
考点四 求点到平面的距离 问题4．（05江西）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =， 点E 在棱AB 上移动.()1略；()2当E 为AB 的中点时，求点E 到面1ACD 的距离；()3略.
(请用多种方法，至少要用向量法)
A B E
D 1A 1B 1C
1D
考点五 存在性问题
问题5：（2013北京）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AAC C 是边长为4的正方形，
平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.()1求证：1AA 平面ABC （这里不做）；()2求二面角111A BC B --的余弦值（这里不做）；()3证明：在线段1BC 存在点D ，使得
1AD A B ⊥，并求
1
BD
BC 的值.
1B
1A
课后作业：
1. （2013洛阳联考）
在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()2,3，点B 的坐标为()1,1--，将直角坐标平面沿x 轴折成直二面角，则,A B 两点间的距离为
.A 3
.B .C 5 .D
2. （2013辽宁六校联考）如图，平面AED ⊥平面ABCD ，AED △为正三角形，四边形ABCD 为矩形，F 为CD 的中点，EB 与平面ABCD 所成的角为30︒.()1当AD 长度
时，求点A 到平面EFB 的距离；()2二面角A BF E --的大小是否与AD 长度有关?请说明理由.
走向高考：
1.（05辽宁）如图，正方体的棱长为1，C 、D A 、B 、M 是顶点，那么点M 到截面ABCD
2.如图，正方体1111ABCD A B C D 的棱长为1，O 是底面
1111A B C D 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离为
.A 21
.B 42 .C 2
2 .D 23
A B
C
D
1C
1D
1A
1B
O
3.（2012福建）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA ，E 为CD 中点. （Ⅰ）求证：11AD E B ⊥（这里不做）；（Ⅱ）在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面AE B 1？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若二面角11A E B A --的大小为30︒，求AB 的长（这里不做）；。