的中点，求证：A' F 平面BDE
E
F
z 证明：如图建立坐标系D-xyz 设AD=2
E
y
F
x
或先求平面BDE的法向量
再证明
题型四：面面平行 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求证：面A1BD∥面CB1D1
D
A
D1
C
B
C1
A 1
B1
z
证明：如图建立坐标系D1-xyz 设AD=1
D
A
D1
令 AB＝ AA1＝ 4， 则 A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)， B(4,0,0)， B1(4,0,4)． (1)取 AB 中点为 N，连结 CN， 则 N(2,0,0)， C(0,4,0)， D(2,0,2)，
→ ＝(－2,4,0)，NC → ＝(－2,4,0)， ∴DE → ＝NC →， ∴DE
∴ DE∥ NC，又∵NC⊂平面 ABC， DE⊄ 平面 ABC.故 DE∥平面 ABC.
→ (2)B 1F＝ (－ 2,2，－ 4)， → ＝(2，－2，－2)，AF →＝(2,2,0)． EF → → ＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， B EF 1F· → → ＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0. B F · AF 1 → → ，B → → ，即 B F⊥EF，B F⊥AF， ∴B F ⊥ EF F ⊥ AF 1 1 1 1
又∵AF∩FE＝F，∴B1F⊥平面 AEF.
题型二：线面平行
在正方体AC1中，E为DD1的中点，
求证：DB1//面A1C1E
D1
F B1
C1
A1
E D
C B
A
D1
证明：如图建立坐标系D-xyz, 设AD=2
z
F B1
C1
A1
E D
即
C y B
x
A
题型三：线面垂直
在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，E，F分别是 C直
例 1 如图所示，已知直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC＝ 90° ，且 AB＝AA1，D、E、F 分别为 B1A、 C1C、BC 的中点． 求证：(1)DE∥平面 ABC； (2)B1F⊥平面 AEF.
证明
如图建立空间直角坐标系 A—xyz，
C
B
C1
x
同理可证
A 1
B1
y
或先求两平面的法向量 n1 , n2 , 再证明
题型五：面面垂直
在正方体AC1中，E、F分别是BB1、CD的中点， 求证：面AED⊥面A1FD1 z D1 A1
C1 B1 E
D
C
F
A B x
y