高数（下）小结
一、微分方程复习要点
解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法求出其通解.
一阶微分方程的解法小结：
二阶微分方程的解法小结：
非齐次方程()y py qy f x '''++=的特解*
y 的形式为：
主要:
一阶1、可分离变量方程、线性微分方程的求解； 2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解； 3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
二、多元函数微分学复习要点
一、偏导数的求法 1、显函数的偏导数的求法 在求
x
z
∂∂时，应将y 看作常量，对x 求导，在求z y ∂∂时，应将x 看作常量，对y 求导，所运
用的是一元函数的求导法则与求导公式.
2、复合函数的偏导数的求法
设()v ,u f z =，()y ,x u ϕ=，()y ,x v ψ=，则
x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂，
y
v
v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ 几种特殊情况：
1）()v ,u f z =，()x u ϕ=，()x v ψ=，则dx
dv v z x u du dz dx dz ⋅∂∂+∂∂⋅= 2）(),z f
x v =，()y ,x v ψ=，则
x v v f x f x z ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂，
y
v
u f y z ∂∂⋅∂∂=∂∂ 3）()u f z =，()y ,x u ϕ=则x u du dz x z ∂∂⋅
=∂∂，y
u
du dz y z ∂∂⋅=∂∂ 3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况
设()y ,x z z =是由方程()0=z ,y ,x F 唯一确定的隐函数，则
()0≠-=∂∂z z
x F F F x z
， ()0≠-
=∂∂z
z
y F F F y z
或者视()y ,x z z =，由方程()0=z ,y ,x F 两边同时对()x y 或求导解出
()z z
x y
∂∂∂∂或.
2）方程组的情况 由方程组()()⎩⎨
⎧==0
0v ,u ,y ,x G v ,u ,y ,x F 两边同时对()x y 或求导解出()z z
x y ∂∂∂∂或即可.
二、全微分的求法 方法1：利用公式dz z
u
dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=
方法2：直接两边同时求微分，解出du 即可.其中要注意应用微分形式的不变性：
z
z du dv u v dz z z dx dy
x
y ∂∂⎧+⎪∂∂⎪
=⎨∂∂⎪+∂∂⎪⎩
三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法
1）设空间曲线Г的参数方程为 ()
()()⎪⎩⎪
⎨⎧===t z t y t x ωψϕ，则当0t t =时，在曲线上对应点
()0000z ,y ,x P 处的切线方向向量为()()(){}
000t ,t ,t T '''ωψϕ=ϖ
，切线方程为
()()()
00
0000t z z t y y t x x '''ωψϕ-=-=-
法平面方程为 ()()()()()()0000000=-+-+-z z t y y t x x t '
''ωψϕ
2）若曲面∑的方程为()0=z ,y ,x F ，则在点()0000z ,y ,x P 处的法向量
{}
P z y x F ,F ,F n =ϖ
，切平面方程为
()()()()()()0000000000000=-+-+-z z z ,y ,x F y y z ,y ,x F x x z ,y ,x F z y x 法线方程为
()()()
0000
00000000z ,y ,x F z z z ,y ,x F y y z ,y ,x F x x z y x -=
-=- 若曲面∑的方程为()y ,x f z =，则在点()0000z ,y ,x P 处的法向量
()(){}10000-=,y ,x f ,y ,x f n y x ϖ
，切平面方程为
()()()()()00000000=---+-z z y y y ,x f x x y ,x f y x 法线方程为
()()1
000000--=
-=-z z y ,x f y y y ,x f x x y x 四、多元函数极值（最值）的求法 1 无条件极值的求法
设函数()y ,x f z =在点()000y ,x P 的某邻域内具有二阶连续偏导数，由(),0x f x y =，
(),0y f x y =，解出驻点()
00,x y ，记()00y ,x f A xx =，()00y ,x f B xy =，
()00y ,x f C yy =.
1）若20AC B ->，则()y ,x f 在点()00,x y 处取得极值，且当0A <时有极大值，当0A >时有极小值.
2） 若20AC B -<，则()y ,x f 在点()00,x y 处无极值.
3） 若02
=-B AC ，不能判定()y ,x f 在点()00,x y 处是否取得极值.
2 条件极值的求法
函数()y ,x f z =在满足条件()0=y ,x ϕ下极值的方法如下：
1）化为无条件极值：若能从条件()0=y ,x ϕ解出y 代入()y ,x f 中，则使函数(,)z z x y =成为一元函数无条件的极值问题.
2）拉格朗日乘数法
作辅助函数()()()y x y x f y x F ,,,λϕ+=，其中λ为参数，解方程组
求出驻点坐标()y,x，则驻点()y,x可能是条件极值点.
3 最大值与最小值的求法
若多元函数在闭区域上连续，求出函数在区域内部的驻点，计算出在这些点处的函数值，并与区域的边界上的最大（最小）值比较，最大（最小）者，就是最大（最小）值.
主要:
1、偏导数的求法与全微分的求法；
2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法
3、最大值与最小值的求法
三、多元函数积分学复习要点
七种积分的概念、计算方法及应用如下表所示：
*定积分的几何应用
定积分应用的常用公式： (1)面积()()[]⎰-=
dx x g x f S b a
（X -型区域的面积）
(2)体积
()⎰=dx x A V b a （横截面面积已知的立体体积）
()2
b xx a V f x dx π=⎰ （(),,,0y f x x a x b y ====所围图形绕x 轴旋转所得
的立体体积）
()xy 2b a V x f x dx π=⋅⎰ （(),,,0y f x x a x b y ====所围图形绕y 轴旋转的立
体体积）
()2
()b y c a V f x c dx π==-⎰ （(),,,y f x x a x b y c ====所围图形绕轴y c =旋转
的立体体积）
(3)弧长
(
)
(
)
() b
b
a
S
β
α
θ
⎧
⎪
⎪
=⎨
⎪
⎪
⎩
⎰
⎰
⎰
直角坐标形式
参数方程形式
极坐标形式
计算时注意：（1）正确选择恰当的公式；（2）正确的给出积分上下限；（3）注意对称性使问题简化；（4）注意选择恰当的积分变量以使问题简化．
计算多元函数的积分时要注意利用对称性简化积分的计算：
1）、对二、三重及第一类的线面积分，若积分区域关于变量x对称，则当被积函数关于x为奇函数时，该积分为0，当被积函数关于变量x为偶函数时，则该积分为相应一半区域积分的二倍.
2）、对第二类的线面积分，关于积分变量的对称性理论与上相同，关于非积分变量
的对称性理论与上相反.
3）、若积分区域,x y的地位平等（即将表示区域的方程,x y互换不变），则将被积函
数中,x y互换积分不变.此称之为轮换对称性.
所以：
()() ()()()()()()0
1()1() z z p x p y
p y p x p y z u p x z u
x y u u
ϕϕ∂∂-
''
+=+=
''∂∂--。