2×2 列联表
y1
x1
a
y2
总计
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋ c
b＋ d
n
构造随机变量
K
2
＝
?a
＋
b
n?ad－ bc?2 ??c＋d??a＋ ＋b＋c＋d 为样本容量．
(3) 独立性检验 利用随机变量 K2 来确定在多大程度上可以认为
“两个分类变量 有关系 ”的方法 ，称为两个分类变
n
?
xiyi－n－x ·－y
i＝1
i＝1
b＝
＝
，
n
?
?xi－－x ?2
n
?
x2i －n－x 2
i＝1
i＝1
a＝
.
n
通过求 Q＝? [yi－(b xi＋a )]2 的最小值而得出回
i＝1
归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它 的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．
(5)相关系数： r＝
2．独立性检验 (1)分类变量：如果某种变量的不同“值”表示个体
所属的不同类别，像这样的变量称为 分类变量 .
(2) 列联表：列出的两个分类变量的 频数表 ，称为
列联表．假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的可能取值
分别为 {x1，x2}，{y 1，y2}，其样本频数列联表 (称为 2×2
列联表 )为
第68讲 变量的相关性、回归 分析、独立性检验
1．会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点 图认识变量间的相关关系．
2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方 程系数公式建立线性回归方程．
3．了解独立检验(只要求 2×2 列联表)的思想、方法， 并能初步应用独立性检验的思想、方法解决一些简单的实际 问题．
②当 K2>2.706 时，有 90%的把握认为变量 x，y 有 关系；
③当 K2>3.841 时，有 95%的把握认为变量 x，y 有 关系；
④当 K2>6.635 时，有 99%的把握认为变量 x，y 有 关系；
⑤当 K2>10.828 时，有 99.9%的把握认为变量 x，y 有关系．
1．下列说法中不正确的是 ( ) A．变量取值一定时 ，因变量的取值带有一定随机性的 两个变量之间的关系叫作相关关系 B ．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相 关关系的两个变量的一组数据的图形叫作散点图
(6)残差及残差平方和：残差 ei＝
，残差平
方和为
.
(7)用相关指数来刻画回归的效果，其计算公式是
1—
R2＝
，R2 的值越大，说明残差平方和
越 小 ，说明回归模型的拟合效果越 好 .
(8)残差分析：在研究两个变量的关系时，首先要根 据散点图来粗略地判断它们是否线性相关 ，是否可用线 性回归模型来拟合数据．然后可以通过残差 e^1，e^2，…， e^n来判断模型的拟合效果 ，判断原始数据中是否存在可 疑数据，这方面的工作称为残差分析．
A. 变量 x 与 y 正相关， u 与 v 正相关 B. 变量 x 与 y 正相关， u 与 v 负相关 C. 变量 x 与 y 负相关， u 与 v 正相关 D. 变量 x 与 y 负相关， u 与 v 负相关
解：x→大，y→小，所以负相关； u→大，v→大，所 以正相关，故选 C.
答案：C
3. (2017·山东卷·理)为了研究某班学生的脚长 x(单位： 厘米)和身高 y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取 10 名 学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性
量的独立性检验． 先假设两个分类变量 x 与 y 无关系 ，计算 K2 的值 ，
则 K2 的值应该很小 ， 若 K2 值较大 ， 就拒绝假设 ，只要 K2>2.706 ，就认为 x 与 y 有关系．
(4) 两个分类变量 x 和 y 是否有关系的判断方法： ①当 K2≤2.706 时，没有充分的证据判断变量 x，y 有关系 ，可以认为变量 x，y 没有关系；
在线性回归模型 y＝bx＋a＋e 中，因变量 y 的值由自变 量 x 和随机误差 e 共同确定，即自变量 x 只能解释部分 y 的变化，在统计中，我们把自变量 x 叫做 解释 变量， 因变量 y 称为 预报 变量．
(4)回归直线的方程为 y ＝b x＋a ，其中
n
?
?xi－－x ??yi－－y ?
个变量的一组数据的图形 ，这样的图形叫做散点图． 它可
直观地判断两个变量关系是否是可以用线性关系表示． 若
这些点分布在从左下角到右上角的区域内 ，两个变量的这
种相关关系称为 正相关 ，若这些点分布在左上角到右 下角的区域内 ， 两个变量的相关关系为 负相关 .
(3)回归分析：对具有 相关关系 的两个变量进行统 计分析的方法叫作回归分析．通俗地讲 ，回归分析是寻找 相关关系中非确定关系的某种确定性．
10
相关关系．设其回归直线方程为 y ＝b x＋a .已知? xi＝
i＝1
10
225，? yi＝1 600，b ＝4.该班某学生的脚长为 24，据此估
i＝1
计其身高为( ) A．160 B．163 C．166 D．170
n
?
xiyi－n－x ·－y
i＝1
，它
n
??
x2i －
n
－x
n
2???
y2i －n－y 2?
i＝1
i＝1
主要用于相关量的显著性检验 ，以衡量它们之间的线性 相关程度．
当 r>0 时，表示两个变量正相关；当 r<0 时，表示 两个变量负相关； |r|越接近 1，表明两个变量的线性相关 性越强；当|r|接近 0 时，表明两个变量间几乎不存在线性 相关关系．
C．若两个变量具有线性相关关系 ，则线性回归方程最
能代表观测值 x、 y 之间的关系 D ．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线
方程
答案：D
2．对变量 x，y 有观测数据 (x i， yi)(i＝ 1,2 ，…， 10) ，得散 点图 (a)；对变量 u， v 有观测数据 (u i， vi)(i＝ 1,2 ， …， 10) ， 得散点图 (b)．由这两个散点图可以判断 ( )
4．了解回归分析的思想、方法，并能初步应用回归分 析的思想、方法解决一些简单的实际问题．
1． 变量的相关关系
(1) 相关关系：当自变量的取值一定时 ， 因变量的取
值带有一定随机性 的两个变量之间的关系 ， 叫相关关
系 ， 与函数关系不同 ， 相关关系是一种不确定
关系．
(2) 散点图：在平面直角坐标系中描点 ， 得到关于两