第一章 统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用A 级 基础巩固一、选择题1．已知x 和y 之间的一组数据x 0 1 2 3 y1357则y 与x 的线性回归方程y ＝b x ＋a 必过点( )A ．(2，2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0 C ．(1，2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4 解析：∵x －＝14(0＋1＋2＋3)＝32，y －＝14(1＋3＋5＋7)＝4，∴回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过点⎝⎛⎭⎪⎫32，4.答案：D2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x －5.648；③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④解析：①中y 与x 负相关而斜率为正，不正确；④中y 与x 正相关而斜率为负，不正确．答案：D3．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x ，y 的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R 2分别如表：甲乙丙丁R 2 0.98 0.78 0.50 0.85A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：相关指数R 2越大，表示回归模型的效果越好． 答案：A4．如图所示的是四个残差图，其中回归模型的拟合效果最好的是( )解析：残差图中，只有A 、B 是水平带状区域分布，且B 中残差点散点分布集中在更狭窄的范围内所以B 项中回归模型的拟合效果最好．答案：B5．(2015·福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x (万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y (万元) 6.2 7.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ^＝y －－b ^x －.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元解析：先求a ^，再利用回归直线方程预测． 由题意知，x －＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y －＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ^＝8－0.76×10＝0.4，∴当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)． 答案：B 二、填空题6．如果散点图中的所有的点都在一条斜率不为0的直线上，则残差为________，相关指数R 2＝________．解析：由题意知，y i ＝y ^i ∴相应的残差e ^i ＝y i －y ^i ＝0.相关指数R 2＝1－答案：0 17.甲、乙、丙、丁4位同学各自对A ，B 两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和如表：甲乙丙丁散点图残差平方和115106124103精度高．解析：由图表知，丁同学拟合的残差平方和为103最小．即R 2最大，所以丁的拟合效果好，精度高．答案：丁8．若下表数据对应的y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋a ，则a ＝________．解析：x －＝4.5，y ＝3.5，回归直线过样本中心点(x －，y －)，则3.5＝0.7×4.5＋a ，所以a ＝0.35.答案：0.35 三、解答题9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如表数据：(1)求回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b ^x －； (2)预计在今后的销售中，销售与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)由于x －＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y －＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，又b ^＝－20，所以a ^＝y －－b ^x －＝80＋20×8.5＝250， 从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000＝－20(x－8.25)2＋361.25.当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．10．某企业每天由空气污染造成的经济损失y(单位：元)与空气污染指数(API)x的数据统计如下：空气污染指数(API)x150200250300经济损失y 200350550800(1)求出y与x的线性回归方程y^＝b^x＋a^；(2)若该地区某天的空气污染指数为800，预测该企业当天由空气污染造成的经济损失；(3)若相关指数R2＝0.958 7，请说明其含义．解：(1)x－＝14(150＋200＋250＋300)＝225，y－＝14(200＋350＋550＋800)＝475.所以b^＝50 00012 500＝4，a^＝y－－b^x－＝475－4×225＝－425，所以y^＝4x－425.(2)当x ＝800时，y ^＝4×800－425＝2 775.即当空气污染指数为800时，预测该企业当天造成的经济损失是2 775元．(3)R 2＝0.9587，说明该企业每天空气污染造成经济损失的95.87%是由空气污染指数API 引起的，所以回归模型的拟合效果较好．B 级 能力提升1．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元解析：x －＝4＋2＋3＋54＝3.5，y －＝49＋26＋39＋544＝42，因为数据的样本中心点(3.5，42)在线性回归直线上，回归方程y ^＝b ^x ＋a ^＝9.4x ＋a ^，所以42＝a ^＋9.4×3.5，所以a ^＝9.1， 所以线性回归方程是y ^＝9.4x ＋9.1，所以广告费用为6万元时销售额为9.4×6＋9.1＝65.5(万元)． 答案：B2．已知方程y ^＝0.85x －82.71是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中x 的单位是cm ，y ^的单位是kg ，那么针对某个体(160，53)的残差是________．解析：把x ＝160代入y ^＝0.85x －82.71， 得y ^＝0.85×160－82.71＝53.29， 所以残差e ^＝y －y ^＝53－53.29＝－0.29. 答案：－0.293．(2015·重庆卷)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份 2010 2011 2012 2013 2014 时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y (千亿元)567810(1)求y 关于t 的回归方程y ＝b t ＋a ；(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t ＝6)的人民币储蓄存款．附：回归方程y ^＝b ^t ＋a ^中，b ^＝解：(1)由题设条件列表计算如下：it iy it 2it i y i12345123455678101491625512213250∑153655120这里n＝5，t－＝1n∑i＝1nt i＝155＝3，y－＝1n∑i＝1ny i＝365＝7.2.从而b^＝l tyl tt＝1210＝1.2，a^＝y－－b^t－＝7.2－1.2×3＝3.6，故所求回归方程为y^＝1.2t＋3.6.(2)将t＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y^＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用A级基础巩固一、选择题1．给出下列实际问题，其中不可以用独立性检验解决的是() A．喜欢参加体育锻炼与性别是否有关B．喝酒者得胃病的概率C．喜欢喝酒与性别是否有关D．青少年犯罪与上网成瘾是否有关解析：独立性检验主要是对两个分类变量是否有关进行检验，故不可用独立性检验解决的问题是B.答案：B2．下面是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出()A．性别与喜欢理科无关B．女生中喜欢理科的比为80%C．男生比女生喜欢理科的可能性大些D．男生不喜欢理科的比为60%解析：由等高条形图知：女生喜欢理科的比例为20%，男生不喜欢理科的比例为40%，因此，B、D不正确．从图形中，男生比女生喜欢理科的可能性大些．答案：C3．在研究打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是()A．100个心脏病患者中至少有99人打鼾B．1个人患心脏病，则这个人有99%的概率打鼾C．100个心脏病患者中一定有打鼾的人D．100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有解析：这是独立性检验，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“打鼾与患心脏病有关”．这只是一个概率，即打鼾与患心脏病有关的可能性为99%.根据概率的意义可知答案应选D.答案：D4．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：以下说法正确的是()A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关B．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关C．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关D．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关解析：根据临界值表，9.643>7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．答案：D5．(2014·江西卷)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()表1表3A．成绩B．视力C．智商D．阅读量解析：根据K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），代入题中数据计算得D选项K2最大．答案：D二、填空题6．独立性检验所采用的思路是：要研究X，Y两个分类变量彼此相关，首先假设这两个分类变量彼此________，在此假设下构造随机变量K2.如果K2的观测值较大，那么在一定程度上说明假设________．解析：独立性检验的前提是假设两个分类变量无关系，然后通过随机变量K2的观测值来判断假设是否成立．答案：无关系不成立7．某高校《统计初步》课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如表：随机变量K2的观测值为k＝50×（13×20－10×7）223×27×20×30≈4.844.因为k>3.841，所以确认“主修统计专业与性别有关系”，这种判断出现错误的可能性为________．解析：因为随机变量K2的观测值k>3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“主修统计专业与性别有关系”．故这种判断出现错误的可能性为5%.答案：5%8．对某校小学生进行心理障碍测试得到的列联表解析：由2×2列联表，代入计算k2的观测值k＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）＝110×（700－200）230×80×20×90≈6.365 7.因为6.365 7>5.024，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为心理障碍与性别有关系．答案：在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为心理障碍与性别有关系．三、解答题9．下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：(1)(2)若饮用干净水得病5人，不得病50人，饮用不干净水得病9人，不得病22人．按此样本数据分析这种传染病是否与饮用水有关，并比较两种样本在反映总体时的差异．附表：解：(1)K2＝830×（52×218－466×94）2518×312×146×684≈54.21.因为54.21>10.828，所以有99.9%的把握认为该地区这种传染病与饮用不干净水有关．(2)依题意得2×2列联表：把表中数据代入公式，得K2＝86×（5×22－50×9）255×31×14×72≈5.785，因为5.785>3.841，所以我们有95%的把握认为该地区这种传染病与饮用不干净水有关．两个样本都能统计得到传染病与饮用不干净水有关这一相同结论，但可信度不同，(1)中有99.9%的把握肯定结论的正确性，(2)中有95%的把握肯定结论的正确性．10．调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据：出生时间在晚上的男婴为24人，女婴为8人；出生时间在白天的男婴为31人，女婴为26人．(1)将2×2列联表补充完整．(2)生时间有关系？解：(1)列2×2列联表：(2)k ＝89×（24×26－31×8）255×34×32×57≈3.689>2.706.根据临界值表知P (K 2≥2.706)≈0.10.因此在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为婴儿的性别与出生的时间有关系．B 级 能力提升1．通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该运动与性别无关” 解析：由2×2列联表，得K 2的观测值k ＝100×（38×5－25×32）270×30×63×37≈7.601>6.635.又由P (K 2≥6.635)≈0.01，知选项C 正确． 答案：C2．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K 2≈3.918，经查临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________．①在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的效率为5%.解析：由独立性检验的思想方法，知①正确． 答案：①3．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目，选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎)，选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40(单位：岁)．其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．(1)写出2×2列联表；判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为猜对歌曲名称与年龄有关系，说明你的理由．(下面的临界值表供参考)(2)6名选手，求20～30岁与30～40岁各有几人．参考公式：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解析：(1)根据所给的二维条形图得到列联表：k ＝120×（10×70－10×30）220×100×40×80＝3.因为3>2.706，所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为猜对歌曲名称与年龄有关系．(2)按照分层抽样方法可知，20～30岁年龄段抽取：6×40120＝2(人)；30～40岁年龄段抽取：6×80120＝4(人)．在上述抽取的6名选手中，年龄在20～30岁的有2人，年龄在30～40岁的有4人．。