并且v和 v 为与微分方程个数相等的函数。对任意 上述积分式均成立。
则表明积分形式与微分方程的定解问题等价
6
3.1 等效积分
1
问题的提出


vT A(u ) f d (v1 A1 (u ) f1 v2 A2 (u ) f 2 )d 0
9
3.2 等效积分的弱形式
例题：梁弯曲问题
d 4w EJ q 0 4 dx
x (0, l )
等效积 分形式
d 4w v EJ dx4 q dx 0 0
l
x (0, l )
等效积分 弱形式
l l
d v d w d w dv d w dx 2 EJ dx 2 vqdx vEJ dx3 dx EJ dx 2 0 0 0 0 0
n N j A( Ni ai ) f )d 0 i 1
( j 1 n)
Galerkin法精度最高！
21
3.3 加权残量(余量)法
6
例题
d 2u u x 0 2 dx 0 x 1
边界条件：x=0，u=0；x=1，u=0 取近似解：u=x(1-x)(a1+a2x+…) 取一项近似解u1=a1x(1-x) 余量R1 (x)=x+a1 (-2+x-x2)



v T B(u ) g d (v1 B1 (u ) g1 v2 B2 (u ) g 2 )d 0

5
3.1 等效积分
1
问题的提出
v1 这里 v v2 v1 v = v 2 为任意函数向量，
2
泛函
A
v 2gh
X
dt
1 y 2 2 gh
a
dx
1 y 2 dx 2 gh
Y
B
T [ y ( x)]
0
称T为y(x)的泛函，y(x)为自变函数。即以函数 作自变量以积分形式定义的函数为泛函。
函数是变量与变量的关系，泛函是变量与函数的 关系。泛函是一种广义的函数。
30
0
R1 ( x) N1dx x(1 x) x a1 (2 x x 2 ) dx 0
0
1
5 a1 18
5 u1 x(1 x) 18
26
3.4 泛函与变分
1
线性、自伴随微分算子
如果微分方程具有线性、自伴随的性质，则： 不仅可以建立它的等效积分形式，并可利用加权余 量法求其近似解；还可建立与之相等效的变分原理， 基于它的另一种近似求解方法—Ritz法。
v Wj
( j 1n)
权函数
等效积 分形式

~ ~ W jT ( A(u ) f )d W jT ( B(u ) g )d 0

( j 1 n)

W jT Rd W jT R d 0

( j 1 n)
强迫残值在某种平均意义上为零。
14
且，u应满足边界条件:
B1 (u ) g1 ( x, t ) B (u ) g ( x, t ) B2 (u ) B2 ( x, t ) 0 on , 是的边界
4
3.1 等效积分
1
问题的提出


vT A(u ) f d v B(u ) g d 0



C T (v) D(u )d E T (v) F (u )d 0

将微分方程转化为弱形式，弱并不是弱化对方程 解的结果，而是弱化对解方程得要求，是弱化待求 变量的连续性，是以提高权函数的连续性为代价的。
x x A (u ) f 0 B (u ) g 0
上述方程的简化形式：
由于以上微分方程在 和 中每一点都成立，因此有：


vT A(u ) f d (v1 A1 (u ) f1 v2 A2 (u ) f 2 )d 0
则有：
n D j A( Ni ai ) f )d 0 i 1
( j 1 n)
这种方法相当于强迫残值在n个子域内的积分等于零。
19
3.3 加权残量(余量)法
4
最小二乘法
n R Wj [ A( N i ai ) f ] A( N j ) a j a j i 1
22
3.3 加权残量(余量)法
6
例题
d 2u u x 0 2 dx 0 x 1
余量R1 (x)=x+a1 (-2+x-x2) 配点法 取x=1/2作为配点
1 1 7 R a1 0 2 2 4 2 u1 x(1 x) 7
2 a1 7
23
3.3 加权残量(余量)法
x x A (u ) f 0 B (u ) g 0


vT A(u ) f d v B(u ) g d 0

微分方程的等效积分形式
8
3.2 等效积分的弱形式
将等效积分形式分步积分，得到的形式就称为等 效积分弱形式。因为分步积分后，算子导数阶次降 低，对待求变量的连续性降低，就起到了弱化作用。
a1 0.2723
u1 0.2723x(1 x)
25
3.3 加权残量(余量)法
6
例题
d 2u u x 0 2 dx 0 x 1
余量R1 (x)=x+a1 (-2+x-x2) 迦辽金法
u1 N1a1 a1 x(1 x)
W1 N1 x(1 x )

1
3.3 加权残量(余量)法
1
基本概念
等效积分
得到的是近似解。
加权余量
等效积分形式的 近似方法，得到的 是近似解。
15
3.3 加权残量(余量)法
1
基本概念
试函数
出现在近似解中。 满足一定的域内条 件或边界条件。
权函数
出现在等效积分 表达式中，不同的 权函数涉及不同的 计算格式。
16
3.3 加权残量(余量)法
加权余量法：适用于所有的偏 微分方程，不管是否存在进行 变分的泛函
注意：变分法和加权余量法也只能求解几何形状规则的问题，因为它 们都是在求解域上假设近似函数。但已构成了有限元法的理论基础。
3
3.1 等效积分
1
问题的提出
工程中的许多问题，通常以未知场函数应满足的 微分方程和边界条件的形式提出。
A1 (u ) f1 ( x, t ) A(u ) f ( x, t ) A2 (u ) f 2 ( x, t ) 0 in , u为未知函数
3.4 泛函与变分
3
变分
y* ( x) y( x) y( x) 称 y( x)为y(x)的变
A[ ( Ni ( x j )ai )] f ( x j ) 0
i 1
n
( j 1 n)
相当于简单地强迫残值在域内的n个点上等于零。
18
3.3 加权残量(余量)法
3
子域法
将求解域分为n个区域 D j ( j 1n)权函数如下确定：
1 (在D j内） Wj 0 (在D j 外）
10
l
2
2
l
3
2
3.3 加权残量(余量)法
1
基本概念
权，然后知轻重。----《孟子》
通过引入权函数/试函数，将近 似解带入微分方程会有余值，在余 值形式中引入权函数，把这种余值 的加权积分，称为加权余值法。 采用使余量的加权积分为零求得微分方程近 似解的方法，称为加权余量(余值、残量)法。
11
3.3 加权残量(余量)法
24
3.3 加权残量(余量)法
6
例题
d 2u u x 0 2 dx 0 x 1
余量R1 (x)=x+a1 (-2+x-x2) 最小二乘法
R 2 x x 2 a1
1 R R1 ( x) dx x a1 (2 x x 2 ) (2 x x 2 )dx 0 0 0 a1 1

称L*为L的伴随算子。若L*=L，则称算子自伴随。
28
3.4 泛函与变分
2
泛函
最速落径问题--质量为m的小环从A处自由滑下， 试选择一条曲线使所需时间最短（不计摩擦）
A
X
设路径为 y=y(x)
ds
Y
B
dx 2 dy 2
1 y 2 ds v dx dt dt
29
3.4 泛函与变分
微分方程
L(u ) b 0
in
微分算子
L( u1 u2 ) L(u1 ) L(u2 )
线性微分算子
27
3.4 泛函与变分
1
线性、自伴随微分算子
若


L(u )vd 定义为函数的内积，
对上式分部积分，直至u 的导数消失，得：


L(u )vd uL* (u )vd b.t.(u, v)
取权函数：
则有：
n A( N j ) A( Ni ai ) f )d 0 i 1
或平方的积分最小。
( j 1 n)
这种方法相当于使域内每一点的残值的平方和最小，
20
3.3 加权残量(余量)法