立体几何中最值问题求解策略
立体几何中最值问题令许多学生无从下手，本文试做一归纳总结，供同学们复习时参考。

策略一转化为求函数最值
例1 已知正方形ABCD、ABEF所在平面互相垂直，
,M为线段AC上一
动点，当M在什么位置时，M到直线BF的距离最短？
分析：本题是求点到线距离最值问题，实际上就是求异面直线AC、BF间距离。

可用代数中求最值的方法来解决。

解：作MH⊥AB于H,作HN⊥BF于N ,易知MH⊥平面ABEF.
由三垂线定理可知，MN⊥BF.
设AM=x,则
MH=AH=
2
2
x
,HN=
2
HB=
1
1
2
x
-
则MN2=MH2+HN2=22
11
(1)
22
x x
+-=2
322
()
433
x-+
所以当AM=
2
3
时，MN有最小值
3
策略二借助均值不等式求最值
例2 求半径为R的球内接正三棱锥体积的最大值。

解：如右图所示，设正三棱锥高
1
O A=h, 底面边长为a
由正三棱锥性质可知
1
O B=
3
a，又知OA=OB=R
则在Rt ABC
∆中，222
)()
3
a R h R
=--
∴23(2)
a h R h
=-
∴
V=22
13
(2)
3
a h R h
=-=3(2)
22
h h
R h
-
3
2
22
3
h h
R h
⎛⎫
++-
⎪
≤ ⎪
⎪
⎝⎭
3(当且仅当2
2
h
R h
=-，即
4
3
h R
=时，取等号)
∴正三棱锥体积最大值为3R
策略三 借助最小角定理建立不等关系
例3 l β∂--是直二面角，,,A B A β∈∂∈，B 不在l 上，设AB 与,β∂成的角分别是12,θθ，求 12θθ+的最大值。

解析：如图所示，过A 作L 垂线，垂足为C,易知AC β⊥
过B 作L 垂线，垂足为D,易知BD ⊥∂.所以2,ABC θ∠= 1BAD θ∠=，在Rt ABD ∆中，12
2
ABD DAB π
π
θ∠=-∠=
-
由最小角定理可知212
2
BAD π
π
θθ<-∠=
-，所以122
π
θθ+<。

当D 、C 重合时，122
π
θθ+=。

所以最大值为
2
π。

策略四 借助侧面展开图求最短路径
例4 长方体1111ABCD A B C D -中，AB=6,BC=5,14,CC =一只蚂蚁从1A
沿长方体表面到达C 处，求蚂蚁爬过的最短距离。

解：如左图所示,蚂蚁爬过的路径有三种，可由侧面展开的结果
比较而求得最值。

1.1
AC =、
=
2 1
AC ==
2
3 1
AC ==
显然第3种距离最短 。

3
策略五 利用极限思想
例5 1 三棱锥P-ABC中，若棱PA=x,其余棱长均为1，探讨x是否有最值；
解析：如图第1题：当P-ABC为三棱锥时，x的最小极限是
P、A重合，取值为0，若PBC
绕BC顺时针旋转，PA变大，
最大极限是P,A,B,C共面时，PA为菱形ABPC
第2题：若P在底面的射影为O,易知PO越小，侧棱越小。

故P、O重
合时，侧棱取最小极限值
3
可知两题所问均无最值。