【西城一模】17．（本小题满分14分）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE的中点，AB AC ==4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2． （Ⅰ）求证：1A O BD ⊥；（Ⅱ）求直线1A C 和平面1A BD 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段1A C 上是否存在点F ，使得直线DF 和BC？若存在，求出11A FA C的值；若不存在，说明理由．图1 图2解：（Ⅰ）因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点， 所以 //DE BC ，AD AE =．所以11A D A E =，又O 为DE 的中点， 所以 1A O DE ⊥．[1分]因为平面1A DE ⊥平面BCED ，且1A O ⊂平面1A DE ， 所以 1A O ⊥平面BCED ，[3分] 所以 1A O BD ⊥．[ 4分]（Ⅱ）取BC 的中点G ，连接OG ，所以OE OG ⊥． 由（Ⅰ）得1A O OE ⊥，1A O OG ⊥． 如图建立空间直角坐标系O xyz -．[5分]由题意得，1(0,0,2)A ，(2,2,0)B -，(2,2,0)C ，(0,1,0)D -． 所以1(2,2,2)A B −−→=--，1(0,1,2)A D −−→=--，1(2,2,2)A C −−→=-． 设平面1A BD 的法向量为(,,)x y z =n ，则110,0,A B A D −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即2220,20.x y z y z --=⎧⎨--=⎩令1x =，则2y =，1z =-，所以(1,2,1)=-n ．[7分] 设直线1A C 和平面1A BD 所成的角为θ，则111||sin |cos ,|3||||A C A C A C θ−−→−−→−−→⋅=〈〉==n n n ． 所以 直线1A C 和平面1A BD所成角的正弦值为3．[9分] （Ⅲ）线段1A C 上存在点F 适合题意．设11A F A C λ−−→−−→=，其中[0,1]λ∈．[10分]设111(,,)F x y z ，则有111(,,2)(2,2,2)x y z λλλ-=-， 所以1112,2,22x y z λλλ===-，从而(2,2,22)F λλλ-， 所以(2,21,22)DF λλλ−−→=+-，又(0,4,0)BC −−→=，所以|||cos ,|||||DF BC DF BC DF BC −−→−−→−−→−−→−−→−−→⋅〈〉==．[12分]， 整理得23720λλ-+=．[13分] 解得13λ=，舍去2λ=．所以 线段1A C 上存在点F 适合题意，且1113A F A C =．[14分]【朝阳一模】16．(本小题满分14分)如图1，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，E 为AD 的中点，O 为BE 中点．将ABE ∆沿BE 折起到A BE '，使得平面A BE '⊥平面BCDE （如图2）．（Ⅰ）求证：A O CD '⊥；（Ⅱ）求直线A C '与平面A DE '所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段A C '上是否存在点P ，使得//OP 平面A DE '? 若存在，求出A PA C''的值；若不存在，请说明理由．证明：（Ⅰ）由已知2AB AE ==，因为O 为BE 中点，所以A O BE '⊥． 因为平面A BE '⊥平面BCDE ，且平面A BE'平面BCDE BE =，A O '⊂平面A BE '，所以A O '⊥平面BCDE ．又因为CD ⊂平面BCDE ，所以A O CD '⊥． ………….5分 （Ⅱ）设F 为线段BC 上靠近B 点的四等分点，G 为CD 中点．由已知易得OF OG ⊥．由（Ⅰ）可知，A O '⊥平面BCDE ， 所以A O OF '⊥，A O OG '⊥.以O 为原点，,,OF OG OA '所在直线分别为,,x y z 轴 建立空间直角坐标系（如图）． 因为2A B '=，4BC =，所以(00(110),(130),(130),(110)A B C D E ,，，，，，，，'---． 设平面A DE '的一个法向量为111(,,)x y z =m ，因为(132),(020)A D DE ，，，，'=--=-， 所以 0, 0,A D DE ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即111130,20. x y y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩取11z =-，得1)=-m ． 而A C '=(1,3,.所以直线A C '与平面A DE '所成角的正弦值sin 3θ==……….10分 （Ⅲ）在线段A C '上存在点P ，使得//OP 平面A DE '. 设000(,,)P x y z ，且(01)A PA Cλλ'=≤≤'，则A P A C λ''=，[0,1]λ∈． 因为(00(130)A C ，，'，所以000(,,(,3,)x y zλλ=， 所以000,3,x y zλλ===，所以(,3)P λλ，(,3)OP λλ=．若//OP 平面A DE '，则OP ⊥m .即0OP ⋅=m .由（Ⅱ）可知，平面A DE '的一个法向量(2,0,1)=-m ， 即2220λλ-+=，解得1[0,1]2λ=∈， 所以当12A P A C '='时，//OP 平面A DE '．……….14分【丰台一模】（16）（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，AD BC ∥，3AD =，22PA BC AB ===，3PB =．（Ⅰ）求证：BC PB ⊥；（Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值；（Ⅲ）若点E 在棱PA 上，且BE ∥平面PCD ，求线段BE 的长． （16）（本小题共14分）（Ⅰ）证明：因为平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB 平面=ABCD AB ，因为BC ⊥AB ，且BC ⊂平面ABCD所以BC ⊥平面PAB ．……………………3分 因为PB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥PB ．……………………4分（Ⅱ）解：在△PAB 中，因为=2PA ，=3PB ，=1AB ，所以222=+PA AB PB ，所以PB ⊥AB ． ……………………5分 所以，建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示． 所以(1,0,0)A -，(0,0,0)B ，(0,2,0)C ，(1,3,0)D -，(0,0,3)P ，(1,1,0)CD =-，(0,2,3)PC =-．易知平面ABCD 的一个法向量为=(0,0,1)n ．……………………6分 设平面PCD 的一个法向量为=(,,)x y z m ，则00CD PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ， 即23x y y z =⎧⎪⎨=⎪⎩，令=2z ，则=m ．……………………8分 设二面角P CD A --的平面角为α，可知α为锐角，则cos cos ,α⋅=<>===⋅n m n m n m ，即二面角P CD A --的余弦值为5．……………………10分 （Ⅲ）解：因为点E 在棱PA ，所以AE AP λ=，[0,1]λ∈．……………………11分因为=AP （，所以=)AE λ（，()BE BA AE λ=+=-．………12分 又因为//BE 平面PCD ，m 为平面PCD 的一个法向量，所以0BE ⋅=m 1)20λλ-+=，所以1=3λ．………………13分所以2(,0,33BE =-，所以7==3BE BE ．…………………14分【海淀一模】( 17)（本小题14分）已知三棱锥P ABC -（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD 的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形，在三棱锥P ABC -中： (I)证明：平面PAC ⊥平面ABC ; (Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值； (Ⅲ)若点M 在棱PC 上，满足CM PM λ=，12[,]33λ∈，点N 在棱BP 上，且BM AN ⊥， 求BNBP的取值范围．17.（本题满分14分） （Ⅰ）方法1：OPCA B设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意PA PB PC ===1PO =，1AO BO CO ===因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点 所以PO AC ⊥，因为在POB ∆中，1PO =，1OB =，PB =所以PO OB ⊥ 因为ACOB O =，,AC OB ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC ·································································· 4分 所以平面PAC ⊥平面ABC 方法2：OPCA B设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点 所以PO AC ⊥，因为PA PB PC ==，PO PO PO ==，AO BO CO ==所以POA ∆≌POB ∆≌POC ∆ 所以90POA POB POC ∠=∠=∠=︒ 所以PO OB ⊥ 因为ACOB O =，,AC OB ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC ·································································· 4分 所以平面PAC ⊥平面ABC 方法3：OPCA BQ设AC 的中点为O ，连接PO ，因为在PAC ∆中，PA PC =， 所以PO AC ⊥设AB 的中点Q ，连接PQ ，OQ 及OB . 因为在OAB ∆中，OA OB =，Q 为AB 的中点 所以OQ AB ⊥.因为在PAB ∆中，PA PB =，Q 为AB 的中点 所以PQ AB ⊥. 因为PQOQ Q =，,PQ OQ ⊂平面OPQ所以AB ⊥平面OPQ 因为OP ⊂平面OPQ 所以OP AB ⊥ 因为ABAC A =，,AB AC ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC ·································································· 4分 所以平面PAC ⊥平面ABC（Ⅱ）由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(1,0,0)C ，(0,1,0)B ，(1,0,0)A -，(0,0,1)P由OB ⊥平面APC ，故平面APC 的法向量为(0,1,0)OB = 由(1,1,0)BC =-，(1,0,1)PC =- 设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则由00BC PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n 得：00x y x z -=⎧⎨-=⎩令1x =，得1y =，1z =，即(1,1,1)n =1cos ,||||3n OB n OB n OB ⋅<>===⋅由二面角A PC B --是锐二面角，所以二面角A PC B --的余弦值为3··········································· 9分 （Ⅲ）设BN BP μ=，01μ≤≤，则(1,1,0)(1,0,1)(1,1,)BM BC CM BC CP λλλλ=+=+=-+-=--(1,1,0)(0,1,1)(1,1,)AN AB BN AB BP μμμμ=+=+=+-=-令0BM AN ⋅=得(1)1(1)(1)0λμλμ-⋅+-⋅-+⋅= 即1111λμλλ==-++，μ是关于λ的单调递增函数， 当12[,]33λ∈时，12[,]45μ∈， 所以12[,]45BN BP ∈ ········································································ 14分【东城一模】(17)（本小题14分）如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为CD 中点，分别将△PAD, △PBC 沿 PA,PB 所在直线折叠，使点C 与点D 重合于点O ，如图2．在三棱锥P-OAB 中，E 为 PB 中点． (Ⅰ)求证：PO ⊥AB;(II ）求直线BP 与平面POA 所成角的正弦值； (Ⅲ）求二面角P-AO-E 的大小．（17）（共14分）证明：（Ⅰ）在正方形ABCD 中，P 为CD 中点，PD AD ⊥,PC BC ⊥， 所以在三棱锥P OAB -中，PO OA ⊥，PO OB ⊥. 因为OA OB O =，所以PO ⊥平面OAB .因为AB ⊂平面OAB ,所以PO AB ⊥.……………………4分 （Ⅱ）取AB 中点F ，连接OF ，取AO 中点M ，连接BM . 过点O 作AB 的平行线OG .因为PO ⊥平面OAB ，所以PO ⊥OF ，PO ⊥OG . 因为OA ＝OB ，F 为AB 的中点， 所以OF ⊥AB . 所以OF ⊥OG .如图所示，建立空间直角坐标系O －xyz .A ()1，3，0，B ()－1，3，0，P ()0，0，1，M (12，32，0)．因为BO ＝BA ，M 为OA 的中点，所以BM ⊥OA .因为PO ⊥平面OAB ，PO ⊂平面POA ，所以平面POA ⊥平面OAB . 因为平面POA ∩平面OAB ＝OA ，BM ⊂平面OAB ， 所以BM ⊥平面POA .因为BM ＝(32，－32，0)．所以平面POA 的法向量m ＝()3，－1，0.BP ＝(1，－3，1)．设直线BP 与平面POA 所成角为α，则15sin cos 5BP BPBPm m,m. 所以直线BP 与平面POA 所成角的正弦值为155.………………10分 （Ⅲ）由(Ⅱ)知1122E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1122OE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,OA =. 设平面OAE 的法向量为n ，则有 0,0.OA OE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,0.x x z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩ 令1y =-，则xz =即=-n .所以21cos ,242⋅===⋅⨯m n m n m n .由题知二面角P －AO －E 为锐角，所以它的大小为3.……………………………14分【石景山一模】17．（本小题共14分）如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，EB //PA ，4AB PA ==，2EB =，F 为PD 的中点．（Ⅰ）求证：AF PC ⊥； （Ⅱ）求证：BD //平面PEC ； （Ⅲ）求二面角D PC E --的大小． 17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：依题意，PA ⊥平面ABCD ．如图，以A 为原点，分别以AD 、AB 、AP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系． ……2分 依题意，可得(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,0)D ，(0,0,4)P ，(0,4,2)E ，(2,0,2)F ．因为(2,0,2)AF =，(4,4,4)PC =-，所以80(8)0AF PC ⋅=++-=． ……5分 所以AF PC ⊥. ……6分 （Ⅱ）证明：取PC 的中点M ，连接EM ．因为(2,2,2)M ，(2,2,0)EM =-，(4,4,0)BD =-， 所以2BD EM =，所以//BD EM ． ……8分 又因为EM ⊂平面PEC ，BD ⊄平面PEC ，所以//BD 平面PEC ． ……9分 （Ⅲ）解：因为AF PD ⊥，AF PC ⊥，PD PC P =，所以AF ⊥平面PCD ，故(2,0,2)AF =为平面PCD 的一个法向量．……10分2018城六区一模立体几何理科11 / 11 设平面PCE 的法向量为(,,)n x y z =，因为(4,4,4)PC =-，(0,4,2)PE =-，所以0,0,n PC n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即4440,420,x y z y z +-=⎧⎨-=⎩ 令1y =-，得1x =-，2z =-，故(1,1,2)n =---． ……12分所以cos ,AF n <>==，……13分 所以二面角D PC E --的大小为5π6．……14分。