一道高中数学竞赛题在圆锥曲线中的推广1991年四川省高中数学联合竞赛决赛第四题是一道平面几何题.原题：如图1，设O e 是ABC ∆的BC 边外的旁切圆，D 、E 、F 分别是O e 与BC 、CA 和AB 的切点，若OD 与EF 交于K ，求证：AK 平分BC.贵州教育学院李小雪先生应用射影几何的观点研究了此题，给出了纯几何证法的证明1⎡⎤⎣⎦文.湖南师范大学数学系沈文选教授在他的近作《平面几何证明方法全书》三次证明此题，方法是三角法、射影变换法、应用张角定理.由此我们可以看出此题是一道有背景的重要的几何题.我们拟给出解析证法，并把它推广到圆锥曲线中去.在证明过程中，要用到以下引理⎡⎤⎣⎦文2：（1）.若点00(,)P x y 为圆222x y R +=外一点，过点P 引圆的两条切线方程为：222222220000()()()x x y y R x y R x y R +-=+-+-；切点弦的方程为：200x x y y R +=.（2）. 若点00(,)P x y 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>外一点，过点P 引椭圆的两条切线方程为：222220000222222(1)(1)(1)x x y y x y x y a b a b a b+-=+-⋅+-； 切点弦的方程为：00221x x y ya b+=. （3）. 若点00(,)P x y 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>外一点，过点P 引双曲线的两条切线方程为：222220000222222(1)(1)(1)x x y y x y x y a b a b a b--=--⋅--； 切点弦的方程为：00221x x y ya b-=.（4）. 若点00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>外一点，过点P 引抛物线的两条切线方程为：[]2220000()(2)(2)y y p x x y px y px -+=-⋅-；切点弦的方程为：00()y y p x x =+.1.竞赛题的解析证法证明：如图2，以旁切圆的圆心O 为原点，直线OD 为y 轴，过O 点垂直于OD 的直线为x 轴.建立直角坐标系，设旁切圆方程为222x y R +=，则点D 的坐标为（0，R ），直线BC 的方程为y R =.图1OKFEDC B A设点A 的坐标为00(,)x y ，则有切点弦EF 的方程为200x x y y R +=………①两条切线AF 、AE 的方程为222222220000()()()x x y y R x y R x y R +-=+-+-…②在方程①中，令0x =，得20R y y =，则点K 的坐标为20(0,)R y .直线AK 的方程为：202000R y y Ry x y x --=……③.将y R =代入方程③解得00x Rx y R=+.设AK 与BC 交于点M ，点M 的坐标为00(,)x RR y R+. 把y R =代入方程②并整理得：222220000()2()()0y R x x R y R x y R R -----=.设点B 、C 的坐标分别为12(,),(,)x R x R ，由韦达定理得0001222002()2x R y R x R x x y R y R -+==-+，BC 中点的横坐标为01202x R x x y R +=+，BC 的中点坐标为00(,)x R R y R+.与点M 的坐标相同.所以点M 为BC 的中点，即直线AK 平分BC .2.竞赛题在圆锥曲线中的推广定理1：如图3，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>旁切于ABC ∆的BC 边外，D 、E 、F 分别是椭圆与BC 、CA 和AB的切点，若OD 与EF 交于K ，则有AK 平分BC.证明：设点A 坐标为00(,)x y ，点D 坐标为(,)m n ，AK 与BC 相交于点M.则过点D 的切线方程为：221mx nya b+=………① 由引理2可知过点A 的两切线方程为：222220000222222(1)(1)(1)x x y y x y x y a b a b a b+-=+-⋅+-………② 切点弦EF 的方程为00221x x y ya b +=………③ 直线DO 的方程为：ny x m=………④联立③、④可得K 点坐标为：222222220000(,)a b m a b n b mx a ny b mx a ny ++.直线AK 的方程为：222222222000002222222222000000a b n b mx y a ny a b my a b nx y x a b m b mx a nx y a b m b mx a nx y ---=+----………⑤ 联立①⑤可得点M 的横坐标：24244424242200000422422422222420000.2M a b mx a b m a b nx y a b mny a b n x x a n y a b n b m x a b mnx y a b m-++-=-++-设点B 、C 的横坐标为B x 、C x ，B 、C 的中点横坐标为x 中， 联立①②可得关于x 的一元二次方程：422422422222422000044242424242200000442644222622620000(2)(22222)(2)0.a n y a b n b x m a b mnx y a b m x a b m a b mx a b x y n a b mny a b n x x a b x a b a b n x a y n a b ny -++-+---++---+= 由韦达定理可得2424442424220000042242242222242000022B C x x a b mx a b m a b nx y a b mny a b n x x a n y a b n b m x a b mnx y a b m +-++-==-++-中点M 与B 、C 中点横坐标相等，又都在切线方程①上，则它们的纵坐标也相等，这两点是同一点，所以M 为线段BC 的中点，即直线AK 平分BC.定理2：如图4，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>旁切于ABC ∆的BC边外，D 、E 、F 分别是双曲线与BC 、CA 和AB 的切点，若OD 与EF 交于K ，则有AK 平分BC.定理2的证明与定理1的证明类似，由于篇幅所限，不再赘述.定理3：如图5，抛物线22(0)y px p =>旁切于△ABC 的BC 边外，D 、E 、F 分别是抛物线与BC 、CA 和AB 的切点，过点D 作x 轴的平行线与EF 交于点K ，则有AK 平分BC . 证明：设点A 坐标为00(,)x y ，点D 坐标为11(,)x y ，AK 与BC 相交于点H.则有2112y px =，过点D 的切线方程为：11()y y p x x =+………①由引理2可知过点A 的两切线方程为2220000[()](2)(2)y y p x x y px y px -+=--………②切点弦EF 的方程为00()y y p x x =+………③联立100()y y y y p x x =⎧⎨=+⎩ 可求得点K 坐标为：0101(,)y y x y p -，进而可得直线AK 方程为： 201000101001001()22p y y px y px y y y y x px y y px y y -+-=+--……④ 联立①④可得点H 的横坐标：22220010101011012200112222001010101101221012222.222H px y y px y y y p x x px y y x p x py y py px y y px y y y p x x px y y p x p x py y +--+=-++--+=+-设点B 、C 的横坐标为B x 、C x ，B 、C 的中点横坐标为x 中， 联立①②可得关于x 的一元二次方程：22222210010100110101012201010101(22)[42()2][()22]0.p y px y y x p x x p x y y x y y x y y y xp x y x x y y px x +-+-++++--=由韦达定理可得22220010110101012200112(2),22B C px y y px y px y y y y p x x x x p x py y py ++--+=-+ 即22220010110101012200112.222B C x x px y y px y px y y y y p x x x p x py y py +++--==-+中 点H 与B 、C 中点横坐标相等，又都在切线方程①上，则它们的纵坐标也相等，这两点是同一点，所以H 为线段BC 的中点，即直线AK 平分BC.若O e 是ABC ∆的内切圆，其他条件不变，结论依然成立，用解析法证明的步骤完全相同.这是证明一类三角形旁切圆、内切圆问题的方法之一.这种方法的优点是思路统一,可以推广到圆锥曲线中.参考文献:1.李小雪:《射影几何的一个应用—谈谈两道竞赛题的解法》.数学通报,1994年第10期.2.单墫、杜锡录等.《初等数学能力训练》，山东科学技术出版社，1987年.。