【例3.1】如图所示，M、N分别是立体表面上的两个点。已知M点 的正面投影m'、N点的水平投影n，试求点M、N的另外两面投影。
【例3.2】如图所示，已知立体表面上直线MK的正面投影m'k'， 试作直线MK的水平投影mk和侧面投影m"k"。
(a) 已知条件
(b) 作图方法
【例3.3】如图所示，已知立体表面点K的正面投影k'，试求其水 平与侧面投影k、k"。
续
在锥面上作点，一般利用素线法。当用投影面 平行面能截出圆形交线时，也可以用纬圆法作点。
下面是几种有轴的锥面。
3、切线面
直母线l 沿着一条曲 导线C 运动，且始终与C 相切，这样形成的曲面 称为切线面。曲导线C 是空间曲线，称为切线 面的脊线。
续
工程中弯曲坡道两侧的 边坡往往设计成切线面，并 且使切线面的所有切线与地 面成同一角度，这样设计成 的切线面称为同坡曲面。
第三章 基本体与曲面 的投影
表面都是平面的立体称为平面立体： 如棱柱和棱锥
表面是曲面或曲面和平面的立体，称
为曲面立体：如球、圆柱、圆锥（主要
讲回转体）
3 － 1 平面体的投影及其表面上的点与线
棱柱
直棱柱—侧棱与底面垂直。 斜棱柱—侧棱与底面倾斜。 •正棱柱——底面为正多边 形的直棱柱。 视图特征： 1)反映底面实形的视图为 多边形； 2)另两视图均为由实线或 虚线组成的矩形。
分数将其等分，过各分点与螺旋线正面
投影上相应点0’、1’、……12’连接，即 得螺旋面的素线的正面投影，最后画出
素线的包络线，完成螺旋面的正面投影。
三、曲线面
1、球面
圆绕其任一直径旋转生成球面。所以球面被任一 平面截割，其交线均为圆。球的任一正投影也总是圆。 圆的直径等于球的直径。
在球面上作点，一般用纬圆法。例如已知球上点 A的正面投影a’,过a’作水平纬圆的正面投影，得纬圆 半径ra，在水平投影中以ra为半径画圆，得纬圆的水 平投影，a在此圆上。
S
b
b
a
c
c
c (b)
a C
s
B
A
a
棱锥的投影
棱锥的投影
棱锥表面上的点
棱锥表面上的点
辅助线法
棱锥表面上的点
棱锥表面上的点
棱台
•棱台可看成是由棱锥用平行于锥底面的平面截去锥顶而形 成的形体，上、下底面为各对应边相互平行的相似多边形， 侧面为梯形。
视图特征： 1)反映底面实形的视图为两个相似多边形和反映侧面的 几个梯形; 2)另两视图均为梯形(或梯形的组合图形)。
曲面的投影
外形线同时还是曲面在该投射方向下可见与
不可见部分的分界线。
曲面上点的投影在曲面的同面投影上。 这里讨论的问题是，已知曲面的投影，根据 曲面上点的一个投影如何求出它的其余投影。 与平面上定点类似，这里也要借助于辅助线。 曲面上选用的辅助线，其投影应为直线或圆。 对于直纹面，可选用其直的素线为辅助线，用 这种方法求点的投影称为素线法。 对于旋转面可以选用纬圆作为辅助线，用这 种方法求点的投影称为纬圆法。
三.圆球的投影
圆球的投影
圆球的投影
圆球的投影
圆球的投影
圆球表面上的点
圆球表面上的点
圆球表面上的点
圆球表面上的点
例 圆球表面上的点
已知条件
辅助平面
求解过程
(4) 判别可见性、光滑连线 (3) 作一般点C(用辅助平面法） (2) 作特殊点A、B (1) 作球体左视图
练习1
练习2
投影，而不画出导平面。
以正平面为导平面 的柱状面管道
7、旋转单叶双曲面
直母线绕一条与它交叉的直线OO旋转，这样形成 的曲面称为旋转单叶双曲面，直线OO称为旋转轴。
投影图上应画出旋转轴和若干条素线的投影、 直母线两端点轨迹的投影，以及素线的包络线。
续
旋转中母线上的每个点都在作圆周运动，其轨 迹是纬圆。母线上距轴线最近的点，其轨迹是最小 的纬圆，叫喉圆。 过旋转单叶双曲面上的每个点，还可以画出另 外一条素线，也就是说，同一个旋转单叶双曲面上 存在着两族素线，同族的素线间均不相交，而每一 条素线都与另一族的所有素线相交。
在圆锥面上用素线法和纬圆法求点的投影的 例子：
二 直纹面
直纹面分为旋转直纹面和非旋转直纹面。圆柱面、 圆锥面、旋转单叶双曲面等属于旋转直纹面，切线面、 双曲抛物面、锥状面、柱状面等属于非旋转直纹面。
1、柱面
直母线l 沿着 一条导曲线运动， 且始终平行于某一 固定方向T，这样形 成的曲面称为柱面。 柱面的所有素线均 互相平行，画柱面 的投影时需画出外 形线的投影（轮廓 素线）。
4、双曲抛物面
直母线l 沿着两条交叉直导线AB、CD运动，且始终平 行于某一导平面Q，这样形成的曲面称为双曲抛物面，工程 上也称扭面。
双曲抛物面的投影图中，只需画出两条直导线和若干 素线的投影，而不必画出导平面。
双曲抛物面在工程上有广泛的用途。
道路边坡过渡段
水渠边坡渐变段
续
对于同一个双曲抛物面，也可以把它看作是以AD、 BC为交叉直导线，以平行于端点连线AB、CD 的平面P 为导平面所形成的。也就是说，双曲抛物面上有两族 素线，其中每一条素线与同族的所有素线都不相交， 而与另一族的所有素线都相交。
根据母线运动时有无旋转轴，曲面可以分为 旋转面和非旋转面。在旋转面中，由直母线旋转 生成的叫旋转直纹面，由曲母线旋转生成的叫旋 转曲线面。
曲面的投影
平行于某个投射方向而且与曲面相切的投射线，形 成投射平面或柱面，它们与曲面相切的切线称为该投射 方向的曲面外形轮廓线，简称外形线。曲面在某个投影 面上的投影，可以用该投射方向上外形线的投影来表示。 此外，有时还需同时画出曲面上若干条素线。
【例3.4】如图所示，已知立体表面上的点K的正面投影k'，求其 另外两面的投影k、k"。
(a) 已知条件
(b) 作图方法
【例3.5】如图所示，已知圆柱表面上线段AB的正面投影a'b'， 求其另外两面上的投影。
(a) 已知条件
(b) 作图方法
【例3.6】如图所示，已知圆锥上点K的正面投影k'，求其另两面 上的投影。
例 根据部分球面的正面投影和水平投影，求作侧
面投影，并根据球面上A点的正面投影a’ 和B点的 水平投影b，作出其余的投影。
练习3
练习4
练习5
3－3 曲面的投影
一、曲面的形成和分类
曲面分为规则曲面和不规则曲面。规则曲面可以看 成是运动的线按照一定的规则或受某种控制运动的轨迹。 运动的线称为母线，曲面上任意位置的母线称为素线。 控制母线运动的线或面，称为导线或导面。
曲面的形成和分类
由直母线运动生成的曲面称为直纹面，例 如圆柱面、圆锥面；只能由曲母线运动生成的 曲面称为曲线面，例如球面。
正六棱柱三面投影图
六棱柱的投影图
棱柱表面上的点
棱柱表面上的点
棱柱表面上的点
棱柱表面上的点
4种工程形体的投影
Hale Waihona Puke 锥•正棱锥——底面为 正多边形，顶点过底 面中心垂线的棱锥体。 视图特征： 1)反映底面实形的视图 为多边形（三角形的组 合图形）； 2)另两视图均为三角形。
三棱锥的投影图
s s
8、螺旋面
分别以圆柱螺旋线和其轴线为导线，直母线l 沿 此两导线移动而又同时与轴线保持一定的角度，这样 形成的曲面称为螺旋面。若母线与轴正交，得到的叫 正螺旋面，否则得到的叫斜螺旋面。
正螺旋面
直观图 投影图
应用实例：螺旋楼梯的作图
塔柱上的螺旋楼梯
斜螺旋面
在作出螺旋线的正面投影的基础上， 首先作一条平行于V 面的素线，使其与 轴的夹角等于定角θ，如图中的0’01’。 自01’起向上量取导程并按水平投影的等
(a) 已知条件
(b) 作图方法
3－2 曲面立体的投影
常见的曲面体多是回转体，如圆柱、圆锥、圆球、圆环等。
回转面 ——有一条母线（直线或曲线）绕固定轴线 回转而成的曲面。
素 线 ——在回转面上每一个位置的母线。 回转体 ——由回转面或回转面与平面所围成的体。
3－2 曲面立体的投影
曲面立体的投影：所有表面的投影，也就是 曲面立体的轮廓线、尖点的投影以及曲面立体 的转向轮廓线。 转向轮廓线：常常是曲面的可见投影与不可 见投影的分界线 母线：某些曲面可看作一条线按一定规律运 动所形成，这条线称为母线，曲面上任一位置 的母线称为素线。 回转体：母线绕轴旋转，形成回转面。由回 转面或回转面与平面所围成的立体为回转体。
在柱面上求点的投影，一般可用素线法。
柱面的曲导线一般为平面曲线。柱面是按正截面 的形状取名的，正截面是圆时，称为圆柱面；正截面 是椭圆时，称为椭圆柱面，等等。 如果柱面有两个以上的对称平面，则对称平面的 交线称为柱面的轴。下面是几种有轴柱面的投影。
续
2、锥面
直母线沿着一条曲导线C 运动，且始终通过定点S， 这样形成的曲面称为锥面。S 称为锥顶，所有的素线 都通过它。在投影图上，应画出锥顶、导曲线和锥面 外形线的投影。
(a) 已知条件
(b) 一般位置直线作为辅助线 求k点的投影
(c) 特殊位置直线作为辅助线 求k点的投影
3.3 求立体表面上点、线的投影
3.3.2 曲面立体上点和直线的投影
1. 线上定点法(从属性法) ——当点或线位于曲面立体的轮廓素线上时，可利用“线上 定点(从属性)法”求解。 2. 积聚性法 ——当点或线所在的立体表面有积聚性时，可利用“积聚性 法”求解。 3. 辅助素线或辅助纬圆法 ——当点或线所在的曲面立体表面无积聚性时，则必须利用 “辅助线法”求解，如位于圆锥(圆台)的锥面上的点或线，可 利用辅助素线或辅助纬圆法；而位于圆球的球面上的点或线可 利用辅助纬圆法。