.第 12 讲 与相交有关概念及平行线的判定【解】⑴∵OE、OF 平分∠BOC、∠AOC ∴∠EOC＝ 1 ∠BOC，∠FOC＝ 1 ∠AOC ∴22考点·方法·破译1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符 号表示它们.∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝ 1 ∠BOC＋ 1 ∠AOC＝ 1 BOC AOC 又∵∠BOC＋∠222AOC＝180° ∴∠EOF＝ 1 ×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF、∠AOF；∠BOE 2的补角是：∠AOE.3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.【变式题组】经典·考题·赏析01．如图，已知直线 AB、CD 相交于点 O，OA 平分∠EOC，且∠EOC＝100°，则∠BOD的度数是（）【例 1】如图，三条直线 AB、CD、EF 相交于点 O，一共构成哪几对对顶角？一共A．20° B． 40° C．50°D．80°构成哪几对邻补角？ 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.AEDE D14⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有 6 对对顶角. 12 对邻补角.CBFAOAC （第 1 题图）32 （第 2 题图）【变式题组】02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝.01．如右图所示，直线 AB、CD、EF 相交于 P、Q、R，则：CE【例３】如图，直线 l1、l2 相交于点 O，A、B 分别是 l1、l2 上的点，试用三角尺完成下⑴∠ARC 的对顶角是 邻补角是. .列作图：AP⑴经过点 A 画直线 l2 的垂线.⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有 2 对对顶角；当三条直线相交于一点时，共有 6 对对顶角；AQFRB D⑵画出表示点 B 到直线 l1 的垂线段. 【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组】OBl2当四条直线相交于一点时，共有 12 对对顶角. 问：当有 100 条直线相交于一点时共有对顶角.01．P 为直线 l 外一点，A、B、C 是直线 l 上三点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点 P 到直线 l 的距l1【例２】如图所示，点 O 是直线 AB 上一点，OE、OF 分别离为（）平分∠BOC、∠AOC． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角.A．4cmB． 5cm C．不大于 4cmD．不小于 6cmFCE 02 如图，一辆汽车在直线形的公路 AB 上由 A 向 B 行驶，M、N 为位于公路两侧的村庄；【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的⑴设汽车行驶到路 AB 上点 P 的位置时距离村庄 M 最近.行驶到 AB 上点 Q 的位定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；AOB置时，距离村庄 N 最近，请在图中的公路上分别画出点 P、Q 的位置.精选范本.⑵当汽车从 A 出发向 B 行驶的过程中，在的路上距离 M 村越来越近..在的路上距离村庄 N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.【例４】如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数. 【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，ED也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF＝90°，OF⊥AB．ABO【解】∵OE⊥CD，OF⊥AB ∴∠FOB＝∠EOD＝90°CF（垂直定义） ∴∠BOE＝∠FOD＝90°－∠DOB＝65°∴∠DOB＝25°∴∠AOC＝∠DOB＝25°（对顶角相等）【变式题组】01．如图，若 EO⊥AB 于 O，直线 CD 过点 O，∠EOD︰∠EOB＝1︰3，求∠AOC、∠AOE的度数.EADOC03．如图，已知 AB⊥BC 于 B，DB⊥EB 于 B，并且∠CBE︰∠ABD＝1︰2，请作出∠CBE的对顶角，并求其度数.ABDAE【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称： ∠1 和∠2：是 AB、EF 被直线 CD 所截而得到的，一组同位角FC∠1 和∠3：是 AB、CD 被直线 CD 所截而得到的，一对内错角 ∠1 和∠6：是 AB、CD 被直线 CD 所截而得到的，一对同旁内角 ∠2 和∠6：是 EF、CD 被直线 AB 所截而得到的，一对同位角 A ∠2 和∠4：是 EF、AB 被直线 CD 所截而得到的，一对同旁内角142 36B5∠3 和∠5：是 EF、CD 被直线 AB 所截而得到的，一对内错角DE∠3 和∠4：是 AB、CD 被直线 EF 所截而得到的，一对同旁内角【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.【变式题组】01．如图，平行直线 AB、CD 与相交直线 EF，GH 相交，图中的同旁内角共有（）A．4 对 B． 8 对 C．12 对D．16 对AEＧ BB02．如图，O 为直线 AB 上一点，∠BOC＝3∠AOC，OC 平分∠AOD．⑴求∠AOC 的度数；⑵试说明 OD 与 AB 的位置关系.DBO02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.CA精选范本3 4 78 21 65甲5 34 6 21乙CH1 2 3 4 丙D F.03．如图，按各组角的位置判断错误的是（）A．∠1 和∠2 是同旁内角B．∠3 和∠4 是内错角C．∠5 和∠6 是同旁内角D．∠5 和∠7 是同旁内角【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由•⑴∠CBD＝∠ADB；⑵∠BCD＋∠ADC＝180°⑶∠ACD＝∠BAC【解法指导】图中有即即有同旁内BA B6A1325D4O7CC∴AB∥DE（）03．如图，已知 AE 平分∠CAB，CE 平分∠ACD．∠CAE＋∠ACE＝90°，求证：AB∥CD．ABECD04．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BE 平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠EBF＝∠EFB，求证：CD∥EF.A角，有“”即有内错角.DE【解法指导】⑴由∠CBD＝∠ADB，可推得 AD∥BC；根据内错角相等，两直线平行.⑵由∠BCD＋∠ADC＝180°，可推得 AD∥BC；根据同旁内角互补，两直线平行.⑶由∠ACD＝∠BAC 可推得 AB∥DC；根据内错角相等，两直线平行.【变式题组】01．如图，推理填空.A⑴∵∠A＝∠（已知）∴AC∥ED（）⑵∵∠C＝∠（已知）F E∴AC∥ED（）⑶∵∠A＝∠（已知）BC∴AB∥DF（）D02．如图，AD 平分∠BAC，EF 平分∠DEC，且∠1＝∠2，试说明 DE 与 AB 的位置关系.解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知）∴∠BAC＝2∠1（角平分线定义）A又∵EF 平分∠DEC（已知）∴（）1 E又∵∠1＝∠2（已知）2∴（）BDFCBCF【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于 31°.l4 l3l5l4 l3l6 l5l2l6l2l1l1图⑴图⑵【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图 形为图⑵.精选范本.证明：假设图⑵中的 12 个角中的每一个角都不小于 31° 则 12×31°＝372°＞360° 这与一周角等于 360°矛盾 所以这 12 个角中至少有一个角小于 31° 【变式题组】 01．平面内有 18 条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于 11°.02．在同一平面内有 2010 条直线 a1,a2,…，a2010,如果 a1⊥a2,a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……那么 a1与 a2010 的位置关系是.03．已知 n（n＞2）个点 P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设 Sn 表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则 Sn＝.演练巩固·反馈提高01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（）A．α 的余角只有∠BB．α 的邻补角是∠DACCEAAαE AM B．∠ ACF 是α 的余BDC第 1 题图C FFND第 2 题图BD 第 4 题图角 C D．α与∠ACF 互补02．如图，已知直线 AB、CD 被直线 EF 所截，则∠EMB 的同位角为（）A．∠AMF B．∠BMFC．∠ENCD．∠END03．下列语句中正确的是（）A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线B．过直线上一点的直线只有一条C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D．垂线段就是点到直线的距离04．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于 D，则下列结论中，正确的个数有（）①AB⊥AC ②AD 与 AC 互相垂直 ③点 C 到 AB 的垂线段是线段 AB ④线段 AB 的长度是点 B 到 AC 的距离 ⑤垂线段 BA 是点 B 到 AC 的距离 ⑥AD＞BDA．0 B．2 C．4D．605．点 A、B、C 是直线 l 上的三点，点 P 是直线 l 外一点，且 PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点 P 到直线 l 的距离是（）A．4cm B．5cmC．小于 4cmD．不大于 4cm06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB＋∠DOC＝.C DAO第 6 题图A BB1EG FH 第 7 题图D ab Cc 21 34 65 78第 9 题图07．如图，矩形 ABCD 沿 EF 对折，且∠DEF＝72°，则∠AEG＝.08．在同一平面内，若直线 a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则 a1a10.（a1 与 a10 不重合）09．如图所示，直线 a、b 被直线 c 所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断 a∥b 的条件的序号是.10．在同一平面内两条直线的位置关系有.11．如图，已知 BE 平分∠ABD，DE 平分∠CDB，且∠E＝∠ABE＋∠EDC．试说明 AB∥CD？AB12．如图，已知 BE 平分∠ABC，CF 平分∠BCD，∠1＝∠2，那么直线 AB 与 CD 的位置关系如何？CE DAB1E F2CD精选范本.13．如图，推理填空： ⑴∵∠A＝ ∴AC∥ED（ ⑵∵∠2＝ ∴AC∥ED（ ⑶∵∠A＋ ∴AB∥FD．（已知） ）（已知） ）＝180°（已知）AE F2B13CD第 13 题图14．如图，请你填上一个适当的条件使 AD∥BC． FAE D01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（）A．1，3 B．0，1，3C．0，2，3D．0，1，2，302．平面上有 10 条直线，其中 4 条是互相平行的，那么这 10 条直线最多能把平面分成（）部分.DA．60 B． 55C．50D．45A03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的 6E个点之外，这些直线最多还有（）个交点.A．35 B． 40C．45D．5504 ． 如 图 ， 图 上 有 6 个 点 ， 作 两 两 连 线 时 ， 圆 内 最 多 有CF__________________交点.B05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知 a、b 是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性.B第 14 题图Cab06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（）A．3 B．1 或 3C．1 或 2 或 3D．不一定是 1，2，307．请你在平面上画出 6 条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？培优升级·奥赛检测08．平面上有 10 条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现 31 个交点，怎么安排才能办 到？精选范本.09．如图，在一个正方体的 2 个面上画了两条对角线 AB、AC，那么两条对角线的夹角等于（）A．60° B． 75° C．90°D．135°10．在同一平面内有 9 条直线如何安排才能满足下面的两个条件？⑴任意两条直线都有交点；⑵总共有 29 个交点.B第 13 讲 平行线的性质及其应用C A考点·方法·破译1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系； 2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理； 3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转 化思想在解决数学问题中的灵活应用.经典·考题·赏析【例１】如图，四边形 ABCD 中，AB∥CD， BC∥AD，∠A＝38°，求∠C 的度数.【解法指导】DC两条直线平行，同位角相等；两条直线平行，内错角相等； 两条直线平行，同旁内角互补.AB平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.【解】：∵AB∥CD BC∥AD∴∠A＋∠B＝180° ∠B＋∠C＝180°(两条直线平行，同旁内角互补)∴∠A＝∠C ∵∠A＝38° ∴∠C＝38°【变式题组】01．如图，已知 AD∥BC，点 E 在 BD 的延长线上，若∠ADE＝155°，则∠DBC 的度数为（）A．155°B．50° C．45° D．25°AE DF32l1C 21αBC（第 1 题图）AB1l2DE（第 2 题图）（第 3 题图）02．（安徽）如图，直线 l1 ∥ l2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3 为（ ）A． 50°B． 55°C． 60°D．65°03．如图，已知 FC∥AB∥DE，∠α：∠D：∠B＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D、∠B 的度数.【例２】如图，已知 AB∥CD∥EF，GC⊥CF，∠B＝60°，∠EFC＝45°，求∠BCG 的度数.【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平 AB分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.【解】∵AB∥CD∥EF ∴∠B＝∠BCD ∠F＝∠FCD(两G条直线平行，内错角相等)又∵∠B＝60° ∠EFC＝45° ∴∠ BCD＝60° ∠FCD＝45° 又∵GC⊥CF ∴∠GCF＝90°CD（垂直定理） ∴∠GCD＝90°－45°＝45° ∴∠BCG＝60° EF－45°＝15°【变式题组】01．如图，已知 AF∥BC, 且 AF 平分∠EAB，∠B＝48°，则∠C 的的度数＝_______________EAA FBM CDOEB （第 1 题图）CB（第 2 题图） CAPND （第 3 题图）02.如图,已知∠ABC＋∠ACB＝120°，BO、CO 分别∠ABC、∠ACB，DE 过点 O 与 BC 平行， 则∠BOC＝___________03．如图，已知 AB∥ MP∥CD, MN 平分∠AMD，∠A＝40°，∠D＝50°，求∠NMP 的度 数.精选范本.【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D． 求证：∠A＝∠F.【解法指导】DE因果转化，综合运用.2逆向思维：要证明∠A＝∠F，即要证明 DF∥AC．3要证明 DF∥AC, 即要证明∠D＋∠DBC＝180°，即：∠C＋∠DBC＝180°；要证明∠C＋∠DBC A1＝180°即要证明 DB∥EC． 要证明 DB∥EC 即要BC证明∠1＝∠3.证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB∥EC（同位角相等•两直线平行）∴∠DBC＋∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C＝∠D ∴∠DBC＋∠D＝180° ∴DF∥AC（同旁内角，互补两直线平行）∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）【变式题组】01．如图，已知 AC∥FG，∠1＝∠2，求证：DE∥FGCA1D 2F 3BEG（第 1 题图）【例４】如图，已知 EG⊥BC，AD⊥BC，∠1＝∠3. 求证：AD 平分∠BAC． 【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析 条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论 的F 条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的： ∠1＝∠3） 证明：∵EG⊥BC，AD⊥BC ∴∠EGC＝∠ADC＝90° （垂直定义）∴EG∥AD（同位角相等，两条直线平行） B ∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD（两条直线平行，内错角相等） ∴AD 平分∠BAC（角平分线定义）【变式题组】 01．如图，若 AE⊥BC 于 E，∠1＝∠2，求证：DC⊥BC．EA13GDCDA1 2BEC02．如图，在△ABC 中，CE⊥AB 于 E,DF⊥AB 于 F, AC∥ED，CE 平分∠ACB． 求证： ∠EDF＝∠BDF. A02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B． 求证：∠AED＝∠ACBADE 31F 203．如图，两平面镜 α、β 的夹角 θ，入射光线 AO 平行 于 β 入射到 α 上，经两次反射后的出射光线 O′B 平行 于 α，则角 θ 等于_________.BC（第 2 题图）αBOθβO/E FBDC3．已知如图，AB∥CD，∠B＝40°，CN 是∠BCE 的平分线. CM⊥CN，求：∠BCM 的度数.ABNECM D精选范本.善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路.【解】过点 E 作 EH∥AB． 过点 F 作 FG∥AB． ∵AB∥EH ∴∠α＝∠1（两直线平【例５】已知，如图，AB∥EF，求证：∠ABC＋∠BCF＋∠CFE＝360°行，内错角相等）又∵FG∥AB ∴EH∥FG（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3【解法指导】从考虑 360°这个特殊角入手展开联想，分析类比，又∵AB∥CD ∴FG∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.平行，同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝过点 C 作 CD∥AB 即把已知条件 AB∥EF 联系起来，这是 A关键.【证明】：过点 C 作 CD∥AB ∵CD∥AB ∴∠1＋∠ABC D＝180°(两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB∥EF，∴CD∥EF（平行E于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠CFE＝180°(两直线平行，B1 2C F180°【变式题组】01．如图， AB∥EF，∠C＝90°，则∠α、∠β、∠γ 的关系是（A． ∠β＝∠α＋∠γB．∠β＋∠α＋∠γ＝180°C． ∠α＋∠β－∠γ＝90° D．∠β＋∠γ－∠α＝90°A ）αB C02．如图，已知，AB∥CD，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于点 F，∠E＝140°，求∠γ BFDD同旁内角互补) ∴∠ABC＋∠1＋∠2＋∠CFE＝180°＋180°＝360° 即∠ABC＋∠BCF＋∠CFE＝360°【变式题组】 01．如图，已知，AB∥CD，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB、∠PCD 的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.的度数.ABβEFEF结论：⑴____________________________⑵____________________________CD⑶____________________________⑷____________________________ABABP PC⑴ D C ⑵ DPAB APC⑶ DBD C⑷【例７】如图，平移三角形 ABC，设点 A 移动到点 A/，画出平移后的三角形 A/B/C/.【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连.A′⑴定：确定平移的方向和距离.⑵找：找出图形的关键点.l⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点.⑷连: 按原图形顺次连接对应点.B′【解】①连接 AA/ ②过点 B 作 AA/的平行线 l ③在 l 截取 BB/＝AA/,A C′【例６】如图，已知，AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ 之间的关系是则点 B/就是的 B 对应点，用同样的方法作出点 C 的对应点 C/.连接 A/B/，∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180° 【解法指导】基本图形AB αP ∠P＝α＋ββABB/C/，C/A/就得到平移后的三角形 A/B/C/.α【变式题组】B C1βH 01．如图，把四边形 ABCD 按箭头所指的方向平移 21cm，作出平移后的图形.2E3 γ4FA DCDψCDB精选范本C.02．如图,已知三角形 ABC 中，∠C＝90°, BC＝4，AC＝4，现将△ABC 沿 CB 方向平移到△ A/B/C/ 的 位 置 ， 若 平 移 距 离 为 3, 求 △ ABC 与 △ A/B/C/ 的 重 叠 部 分 的 面 积 .AA/120°04．下列命题中，正确的是（ ）A．对顶角相等B． 同位角相等C．内错角相等D．同旁内角互补05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]P.P.P.P.CC/ BB/03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着 BC 方向平移 BE 的距离，就得到 此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）AD8 3B5ECF演练巩固 反馈提高A北01．如图，由 A 测 B 得方向是（ ）A．南偏东 30°B．南偏东 60°30°西B东C．北偏西 30°D．北偏西 60°02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两南直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（ ）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（ ）A．第一次向左拐 30°，第二次向右拐 30° B．第一次向右拐 50°，第二次向左拐130°C．第一次向左拐 50°，第二次向右拐 130° D．第一次向左拐 60°，第二次向左拐⑴⑵⑶⑷从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.A．①② B．②③ C．③④ D．①④06．在 A、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从 A 地测得 B 地的走向是南偏东 52°.现 A、B 两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则 B 地所修公路的走向应该是（ ）A．北偏东 52° B．南偏东 52° C．西偏北 52° D．北偏西 38°07．下列几种运动中属于平移的有（ ）①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.A．1 种B．2 种C．3 种D．4 种08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（ ）精选范本.湖 E10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE 进行平移. 平移方向为射线 AD 的方 向. 平移距离为线段 BC 的长，则平移得到的三角形是图中（ ）图的阴影部分.120°150°CBDADAD AD D 14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中 E 点时，与两岸码头 B、D 成 64°角.当小船行驶到河中 F 点时，看 B 点和 D 点的视线 FB、FD 恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点 F 与码头 B、D 所形成的角∠BFD 的度数吗？B EACBE BCBE CCB EDC EAB1211．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例. ⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角； ⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.FE3C4D12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假. ⑴互补的角是邻补角； ⑵两个锐角的和是锐角； ⑶直角都相等.15．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，试说明∠E 和∠F 的关系.A1 313．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B＝150°，第 三个拐弯处∠C，这时道路 CE 恰好和道路 AD 平行，问∠C 是多少度？并说明理由.F CBE42PD精选范本.培优升级·奥赛检测01．如图，等边△ABC 各边都被分成五等分，这样在△ABC 内能与△DEF 完成重合的小三角形共有 25 个，那么在 △ABC 内由△DEF 平移得到的三角形共有（ ）个A DFE02．如图，一足球运动员在球场上点 A 处看到足球从 B 点沿着 BO 方向匀速滚来，运动员立即从 A 处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的 BC. 速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移）A..OB___________. 04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为 a，竖直方向的边长为 b）；将线段 A1A2 向右平移 1 个单位得到 B1B2，得到封闭图形 A1A2B2B1 [即阴影部分如图⑴];将折现 A1A2 A3 向右平移 1 个单位得到 B1B2B3，得到封闭图形 A1A2 A3B3B2B1 [即阴影部分如图⑵]; ⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移 1 个单位，从而 得到 1 个封闭图形，并画出阴影. ⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积 S1＝________, S2＝________, S3＝________. ⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的 水平宽度都是 1 个单位），请你猜想空白部分草地面积是多少？A1 B1A1 B1 A2 B2草地草地A1 B1A2B2A3 B3A2 B2 ⑴A3 B3 ⑵⑶⑷A4 B4 ⑸05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转 α°（0°＜α°＜180°），被称为一次操作，若 5 次后发现赛车回到出发点，则 α°角为（ ）A．720°B．108°或 144° C．144°D．720°或 144°06．两条直线 a、b 互相平行，直线 a 上顺次有 10 个点 A1、A2、…、A10，直线 b 上顺次有 10 个点 B1、B2、…、B9，将 a 上每一点与 b 上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（ ）A．90B．1620C．6480D．200607．如图，已知 AB∥CD，∠B＝100°，EF 平分∠BEC，EG⊥EF. 求∠BEG 和∠DEG.A B100°GFDEC03．如图，长方体的长 AB＝4cm，宽 BC＝3cm， 高 AA1＝2cm. 将 AC 平移到 A1C1 的位置上时， 平 移 的 距 离是 ___________,平 移 的 方 向是 AA1DB D1B1C08．如图，AB∥CD，∠BAE＝30°，∠DCE＝60°，EF、EG 三等分∠AEC． 问：EF 与EG 中有没有与 AB 平行的直线？为什么？ABC1精选范本FEGCD.09．如图，已知直线 CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F 在 CB 上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE 平分∠COF.⑴求∠EOB 的度数；⑵若平行移动 AB，那么∠OBC：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.⑶在平行移动 AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.CF EB12．如图将面积为 a2 的小正方形和面积为 b2 的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部 分面积？FAEBCDOA10．平面上有 5 条直线，其中任意两条都不平行，那么在这 5 条直线两两相交所成的角中， 至少有一个角不超过 36°,请说明理由.第 06 讲 实 数考点·方法·破译1．平方根与立方根：若 x2 ＝a(a≥0)则 x 叫做 a 的平方根，记为：a 的平方根为 x＝± a ，其中 a 的平方根为11．如图，正方形 ABCD 的边长为 5,把它的对角线 AC 分成 n 段，以每一小段为对角线作小正方形，这 n 个小正方形的周长之和为多少？ABx＝ a 叫做 a 的算术平方根． 若 x3＝a，则 x 叫做 a 的立方根．记为：a 的立方根为 x＝ 3 a ．精选范本.2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数 p （p、q 是两个互质的整数，且 q≠0）的形式． q3 非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即 a >0，∵ 2a 4 b 2 a 3b2 4 2a∴ 2a 4 b 2 a 3b2 4 2a ，∴ b 2 a 3b2 0 ．∴b 2 0a 3b20，∴a b 3，故选2C．a2n ≥0（n 为正整数）， a ≥0(a≥0) ．经典·考题·赏析【例 1】若 2m－4 与 3m－1 是同一个数的平方根，求 m 的值． 【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m −4 与 3m−l 是同一个数的平方根，∴2m−4 ＋3m−l＝0，5m＝5，m＝l． 【变式题组】 01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____．02．已知 m 是小于 15 2 的最大整数，则 m 的平方根是____．03． 9 的立方根是____． 04．如图，有一个数值转化器，当输入的 x 为 64 时，输出的 y 是____．输入 x是无理数取算术平方根输出 y【变式题组】0l．在实数范围内，等式 2 a a 2 b 3 ＝0 成立，则 ab＝____．02．若 a 9 b 32 0 ，则 a 的平方根是____．b03．（天津）若 x、y 为实数，且 x 2 y20 ，则 x y2009 的值为（）A．1 B．－1 C．2 D．－204．已知 x 是实数，则 x x x 1 的值是( ) A．1 1 B．1 1 C． 1 1 D．无法确定【例 3】若 a、b 都为有理效，且满足 a b b 1 2 3 ．求 a＋b 的平方根．【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为 0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为 0）不一定是无理数．∵ a b b 1 2 3 ，是有理数【例 2】（全国竞赛）已知非零实数 a、b 满足 2a 4 b 2 a 3b2 4 2a ，则 a＋b 等于( ) A．－1 B． 0C．1D．2【解法指导】若 a 3b2 有意义，∵a、b 为非零实数，∴b2>0∴a－3≥0 a≥3∴a bb 1 23即a bb 1 12，∴a b 13 12，a ＋b＝12 ＋13＝25．∴a＋b 的平方根为： a b 25 5 ．【变式题组】01．（西安市竞赛题）已知 m、n 是有理数，且（ 5 ＋2）m＋(3－2 5 )n＋7＝0 求 m、n．精选范本.04．在实数 1.414， ••2 ，0.15，5−16，••，3.14，38中无理数有()12502．（希望杯试题）设 x、y 都是有理数，且满足方程（ 1 ）x＋（ 1 ）y−4− ＝0，2332则 x−y＝____．A．2 个 B．3 个 C．4 个 D． 5 个 05．实数 a、b 在数轴上表示的位置如图所示，则( )A．b>aB． a bC． －a＜bD．－b>a【例 4】若 a 为 17 −2 的整数部分，b−1 是 9 的平方根，且 a b b a ，求 a＋b 的值．【解法指导】一个实数由小数部分与整数部分组成， 17 −2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得 2，则小数部分＝ 17 −2 −2＝ 17 −4．∵a＝2，b−1＝±3 ，∴b＝－2 或 4∵ a b b a ．∴a<b ，∴a＝2， b＝4，即 a＋b＝6．【变式题组】01．若 3＋ 5 的小数部分是 a，3− 5 的小数部分是 b，则 a＋b 的值为____．02． 5 的整数部分为 a，小数部分为 b，则（ 5 ＋a）·b＝____．演练巩固 反馈提高0l．下列说法正确的是( ) A．－2 是(－2)2 的算术平方根 B．3 是－9 的算术平方根 C． 16 的平方根是±4 D．27 的立方根是±302．设 a 3 ，b＝ －2， c 5 ，则 a、b、c 的大小关系是( ) 2A．a<b<c B．a<c<b C． b<a<c 03．下列各组数中，互为相反数的是( )D．c<a<bA．－9 与 81 的平方根 B．4 与 3 64 C．4 与 3 64 D．3 与 906．现有四个无理数 5 ， 6 ， 7 ， 8 ，其中在 2 ＋1 与 3 ＋1 之间的有( ) A． 1 个 B．2 个 C． 3 个 D ．4 个 207．设 m 是 9 的平方根，n＝ 3 ．则 m，n 的关系是( )A. m＝±n B.m＝n C .m＝－n D. m n08．（烟台）如图，数轴上 A、B 两点表示的数分别为－1 和 3 ，点 B 关于点 A 的对称点 C， 则点 C 所表示的数为( )A．－2 3 B．－1 3 C．－2 ＋ 3 D．l ＋ 309．点 A 在数轴上和原点相距 5 个单位，点 B 在数轴上和原点相距 3 个单位，且点 B 在点A 左边，则 A、B 之间的距离为____．10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1， 1 ， 1 …， 1 ， 1 ．如果2319 20从中选出若干个数，使它的和大于 3，那么至少要选____个数．精选范本.11．对于任意不相等的两个数 a、b，定义一种运算※如下：a※b＝ a b ，如 3※2＝ 3 2ab32＝ 5 ．那么 12.※4＝____．12．（长沙中考题）已知 a、b 为两个连续整数，且 a< 7 <b，则 a＋b＝____．13．对实数a、b，定义运算“*”，如下a*b＝a2b ab2 a≥b ，已知 3*m ＝36，则实数 m＝ a<b ____．14．设 a 是大于 1 的实数．若 a， a 2 ， 2a 1 在数轴上对应的点分别是 A、B、C，则三33点在数轴上从左自右的顺序是____．15.如图，直径为 1 的圆与数轴有唯一的公共点 P．点 P 表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为 P′，那么点 P′所表示的数是____．19．若 b＝ 3a 15 ＋ 15 3a ＋3l，且 a＋11 的算术平方根为 m，4b＋1 的立方根为 n， 求（mn−2）(3mn ＋4)的平方根与立方根．16．已知整数 x、y 满足 x ＋2 y ＝ 50 ，求 x、y．17．已知 2a−1 的平方根是±3，3a＋b−1 的算术平方根是 4，求 a＋b＋1 的立方根．20．若 x、y 为实数，且（x−y＋1）2 与 5x 3y 3 互为相反数，求 x2 y2 的值．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为 60°，半径为 1 个单位长的扇 形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当 B 点恰好落在数轴上时，(1) 求此时 B 点所对的数；(2)求圆心 O 移动的路程．精选范本.08．（全国联赛）若 a、b 满足 3 a 5 b ＝7，S＝ 2 a 3 b ，求 S 的取值范围．培优升级 奥赛检测01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数 x 的两个平方根分别是 a＋1 与 a−3，则 a 值为( ) A． 2 B．－1 C． 1 D． 002．（黄冈竞赛）代数式 x ＋ x 1 ＋ x 2 的最小值是( )A．0 B． 1＋ 2 C．1 D． 203．代数式 5 3x −2 的最小值为____． 04．设 a、b 为有理数，且 a、b 满足等式 a2＋3b＋b 3 ＝21−5 3 ，则 a＋b＝____． 05．若 a b ＝1，且 3 a ＝4 b ，则在数轴上表示 a、b 两数对应点的距离为____． 06．已知实数 a 满足 2009 a a 2010 a ，则 a− 20092＝_______．09 ．（ 北 京 市 初 二 年 级 竞 赛 试 题 ） 已 知0<a<1，并且a1 30 a2 30 a3 30 ggg a 28 30 a 29 30 18 ，求[10a]的值[其中[x]表示不超过 x 的最大整数]．07．若 m 满足关系式 3x 5y 2 m x 3y m x 199 yg 199 x y ，试确定 m 的值．10．（北京竞赛试题）已知实数 a、b、x、y 满足 y＋ x 3 1 a2 ， x 3 y 1 b2 ， 求 2x y 2ab 的值．精选范本.第 14 讲 平面直角坐标系（一）考点．方法．破译1．认识有序数对，认识平面直角坐标系． 2．了解点与坐标的对应关系． 3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．经典．考题．赏析【例 1】在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】01．第三象限的点 P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点 P 得坐标是_____________．02．在平面直角坐标系中，如果 m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限.03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(－3，0)，B(－2，－ 1 )，C(2， 1 )，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)32【变式题组】01．若点 G(a，2－a)是第二象限的点，则 a 的取值范围是（）A．a＜0B．a＜2C．0＜a＜2B．a＜0 或 a＞202．如果点 P(3x－２，２－x)在第四象限，则 x 的取值范围是____________．03．若点 P(x，y)满足 xy＞0，则点 P 在第______________象限．04．已知点 P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．【例３】已知 A 点与点 B(－3，4)关于 x 轴对称，求点 A 关于 y 轴对称的点的坐标．【解法指导】关于 x 轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于 y 轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．【变式题组】01．P(－1，3)关于 x 轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于 y 轴对称的点的坐标为____________．03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．04．点 A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则 m 的取值范围是____________．05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点 N(a，b) 关于 y 轴对称的点在第______象限．【例４】P(3，－4)，则点 P 到 x 轴的距离是____________． 【解法指导】P(x，y)到 x 轴的距离是| y|，到 y 轴的距离是|x|．则 P 到轴的距离是|－ 4|＝4 【变式题组】 01．已知点 P(3，5)，Q(6，－５)，则点 P、Q 到 x 轴的距离分别是_________，__________．P 到 y 轴的距离是点 Q 到 y 轴的距离的________倍． 02．若 x 轴上的点Ｐ到 y 轴的距离是 3，则 P 点的坐标是__________． 03．如果点 B(m＋1，3m－5) 到 x 轴的距离与它到 y 轴的距离相等，求 m 的值．04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求 a 的值．【例 2】若点 P(a，b)在第四象限，则点 Q(―a，b―1)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0, b－１＜0,故选 C．05．已知两点 A(－3，m)，B(n，4)，AB∥x 轴，求 m 的值，并确定 n 的取值范围．精选范本。