一维光子晶体层状碘化铅/碘甲基氨的色散关系
自1987 年Yablono vitch[ 1 ] 在周期性排列的电介质中发现光子禁带以来, 人们对光子晶体这种人工结构已做了大量的研究工作。

一维光子晶体, 其结构简单（图示1）, 易于制备, 可以设计滤波器、薄膜太阳能电池等光电子学器件的常用结构。

使用CVD法制备卤化铅（碘化铅）层状结构，后期退火在每层碘化铅中加入碘甲基氨，由于二者的介电常数相差较大且呈周期排布所以在堆垛方向上形成一维光子晶体（图示2）。

通常描述光子晶体能带结构的物理参量主要是透射谱、反射谱及其）（k ω色散关系.本文中我们用平面波展开发计算色散关系[2].
光子晶体理论分析中应用最早、最广的一种方法就是平面波展开法。

在计算光子晶体光子能带结构时,平面波展开法直接应用了结构的周期性,将麦克斯韦方程从实空间变换到离散傅立叶空间,将色散关系计算简化为对代数本征值问题的求解.
假设光子晶体处在无源空间, 且是由各向同性、无损耗、非磁性、无色散的线性介质组成
入射波t i e x E t x E ω-=)(),(
由麦克斯韦方程给出其波动方程
2222),()(,t t x E a x x t x E ∂∂=∂∂ε）（ 图2 碘化铅层状结构SEM 图
削去时间
)()(-2222x E c x x x E εω=∂∂）（ a 为晶格常数，)(x ε为周期性介电函数，
nm
a nm a a a a 4040212
1==+=
⎩⎨⎧<<<<=a x a a x x 1211
,0,)(εεε
1a 为碘化铅厚度，2a 为碘甲基氨厚度，假设二者相等，根据图2可估算大概尺度为40nm
1ε为碘化铅介电常数，2ε为碘甲基氨介电常数，查阅资料取31=ε62=ε 将周期函数)(x ε做周期展开
∑∞-∞==
n x a n i n e x πεε2)( 其中 ⎰-=a x a n i n e x a 02)(1πεε
积分得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=+=-0,1)(20,12212211n e n
i n a a a a a a n i n πεεπεεε 将E(x)展开得到布洛赫波的形式
∑∞-∞=+=
m x a m k i e m B x E )2()()(π 将②③带入①中 ①
②
③
∑∑∑∞-∞=∞-∞=+∞
-∞=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=m n x a n k i x a m i m
n x a n k i e n B e a n k e n B c )2(22)2(22)()2()(πππεπω 进一步做简化处理，只取展开式中的11项，假设B(n)为常数
∑∑∑-=-=+-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=5555)2(25
52)2(22)2(m n x a n k i x a m i m n x a n k i e e a n k e c πππεπω
文献参考 [1]YABLONOVITCH E. Inhibit ed spontaneo usem ission in solid- state physics and electr onics [ J] .Phys Rev L ett, 1987, 58( 20) : 2059- 2062.
[2]王成伟.基于介电函数实验值拟合对一维光子晶体能带结构的分析与讨论.Journal o f Nort hw est No rmal Univer sity ( Natural Science)
-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81012345678x 1025
图3 色散关系曲线 Wave vector k(π/a) ω
(HZ)。