c n=[001]
• 法线方向:标志一组晶面的 特征
• 密勒指数:已知晶格基矢和
法线取向,密勒指数可求.
b
• 例如:n=[001] a,b,c为单 a 位长,最靠近原点的晶面的 截距:a∞,b∞,1c;面指数:
• (001),面间距:d=c
• 假设:基矢是未知的，只有一些周期性分布的点子同晶 面族一一对应,可以求出基矢.
• 金刚石结构
面心立方原胞内还有4 个原子，这4个原子分别 位于空间对角线的1/4处
碳四面体结构
碳原子杂化示意图察看
C 一种原子，二个位置。
金刚石结构是个复式格子，由两个面心立方子晶格 彼此沿其空间对角线位移1/4的长度套构而成的。
半导体材料：锗Ge, 硅Si. 与金刚石结构相同。
• 闪锌矿结构，硫化锌ZnS
布里渊区
• 从倒格子点阵的原点出发，作出它最近 邻点的倒格子点阵矢量，并作出每个矢 量的垂直平分面，所围成的具有最小体 积的区域，称为第一布里渊区。按照上 述方法同样可以作出第二、第三、…… 布里渊区。
• １.二维正方格子
正格子原胞基矢
a1
ai ,
a2
aj
倒格子原胞基矢：b1
2
a
i,b2
2
• 1.3 晶格的周期性，基矢 定义：
布喇菲格子：基元只有一个原子的晶格。 复式格子：基元含有2种或2种以上的原子。
一维的布喇菲格子 x
a 一个原子加上原子周围长a的区域
2 ×1/2=1 个原子 Γ(x+na)=Γ(x)
原胞
一维的复式格子
b
a
a
A，B两种原子组成一无限的周期性点列。
A 原子组成一个子晶格
ijk
a 2
a 2
v a1 a2 a3 a1 4 1 1
1
a1
(2 k 2 j) 4
1 1 1
v
a3
( i j k ) (2 k 2 j)
8
a3
( i j k ) (k j)
4
a3 (1 1)
•
体心立方结构，固体物理
4
学原胞的体积是晶体学原
a3
胞的体积的1/2.
82
82
取比值，Na : Cl 1：1
2、氯化铯结构 Cl-和Cs+各自组成简立方结构的子晶格。
氯化铯结构是由两个简立方 的子晶格彼此沿立方空间对 角线位移1/2的长度套构而成。 固体物理学原胞是简立方， 每个原胞中包含两个原子。 (2)同种原子 固体物理学的观点：说结构，取原胞都是对布喇菲 格子而言。 （考虑对称性）
周围情况不同，三组氧
(OI, OII, OIII) 共有5个简立方格子套构
而成，称为钙钛矿结构
OI, OII, OIII连接成等边三角形 氧八面体：每个原胞有8个这样的三角形面，围成八面体 Ti在八面体的中心，Ba在八面体的间隙里。 钙钛矿型化学式：ABO3 铁氧体（具有亚铁磁性）也具有氧八面体，但非钙钛矿型。
• In X-ray photo, Points correspond with the crystal planes.
• 倒格子:类似上面所设想的那些点子所组成的格子.
• 1.倒格子与晶格的几何关系:
• 晶面ABC,法线ON，
• 法线上一点P，OP=ρ
• 令 d 2 d为ABC面
• 面间距，把P平移得到一个 O
• a1/ h1, a2/ h2, a3/ h3 • 矢量:AC=OC–OA
= a3/ h3–a1/ h1 AB=OB–OA
= a2/ h2–a1/ h1
Kh•AC= (h1 b1+h2 b2+h3 b3) • (a3/ h3–a1/ h1)=2π–
同理 :
2π=0
Kh•AB=0, 得证!
• (3)倒格矢Kh的长度正比于晶面族(h1 h2 h3)面间
原胞
B 原子组成一个子晶格 原胞有两种画法：
每个原胞中含有一个A原子，一个B原子。
同种原子组成的复式格子。 原子周围的情况并不相同，例如：有2种不同情况。
a
原胞
A1 A2
每个原胞含有2个原子：一个A1， 一个A2，基元是由A1,A2原子组成。
三维的情况
原胞
最小的重复单元
固体物理学原胞：对于布喇菲格子，只含有一个原 子。
P b3
a2
b2
O
b1 a1
• （a1a2面） b3＝２ ／d3
• （a2a3面） b1＝２ ／d1
• （a1a3面） b2＝２ ／d2
• b1,b2,b3为倒格子基矢
• 正格子原胞体积： =a1•[a2×a3]
•
=a3•[a1×a2]
•
=a2•[a3×a1]
•
=d3•(a1a2sinθ)
•
= d3 [a1×a2]
• 正格子间距: d3 ,d2 ,d1
nnnjj
• 因为d3= /[a1×a2]
• 定义倒格矢:b3=2 [a1×a2]/
•
b2=2 [a3×a1]/
•
b1=2 [a2×a3]/
• 物理意义:晶格的一组晶面转化为倒格子中的一
•
个点.用来描述晶体衍射问题.
• 正格子和倒格子的关系:除 2 因子之外,互为
距的倒数.
• ABC面面间距等于原点到ABC面的距离.
• 这一组面的法线方向为Kh.
• 晶面的面间距d h1 h2 h3=截距在法线方向上的投
影．
kk k dh1h2h3
a1 • h1
h
h
a1 h1
(h1 b1 h2 b2 h3 b3 )
h1 b1 h以，倒格矢Kh的长度为：
• 空间点阵学说含义：
(1) 点子：代表着结构中相同的位置，叫做结点。
特征：每个阵点在空间分布必须具有完全相同的周围环 境(surrounding)
同一种原子
结点是原子本身的位置。
数种原子
结点是基元的重心。
位置是相同的。
(2) 周期性
基元沿空间三个不同的方向，各按一定的距离周期
性地平移，每一平移的距离称为周期。
(3) 晶格
通过点阵中的结点作许多平行的直线族和平行的晶
面族，点阵就成为一些网格
晶格
原胞：重复的单元。 边长等于该方向上的周期，结点为顶点的平行六面 体
晶体学原胞：
为反映晶体的对称性，体积不一定最小
(4) 布喇菲点阵
多种原子：同种原子组成子晶格 相对位移形成复式格子。 相对结构子晶格相互位移套构而成
解理性 ：沿着某些确定方位的晶面劈裂。
晶 面 ： 晶体中具体有某个方位的面。
晶 棱 ：晶面之间的交线。
晶 带 ：晶面的交线互相平行，这些晶 面的组合称为晶带
带 轴 ：互相平行的晶棱的共同方向， 称为该晶带的带轴。
• 三点：
由于生长条件不同，同一种晶体外形不一定一样。
晶面夹角是晶体晶种的特征因素，不受外界影响。晶 面角守恒定律
硫和锌分别组成面心立方的子晶格。而沿空间对角
线位移1/4的长度套构而成。
化合物半导体：锑化铟，砷化镓，磷化钼
• 钙钛矿结构
钛酸钙 CaTiO3 介电晶体：钛酸钡 BaTiO3
锆酸铅 LiNbO3
200 C铁电晶体 高于120 °C ，铁点性消失
铌酸锂 PbZrO3 钽酸锂 LiTaO3
钛酸钡的晶体学原胞 钡在顶角 钛在体心
2
面心立方(Face Centered Cubic)
含有8×1/8+6×1/2=4个原子 a1=a/2(j+k) a2=a/2(k+i) a3=a/2(i+j)
固体物理学原胞体积：
V=a1·a2×a3
原胞中只含有一个原子，体积是晶体学原胞的四分之一。
i jk
V
a1
a2 4
1
0
1
a3
( j k )( i j k )
a1=ia
a2=ja
a3=ka
a
体心立方(Body Centered Cubic) 含有8×1/8+1=2个原子 固体物理学原胞只要 求含有1个原子。 a1=–(a/2)i+(a/2)j+(a/2)k
=a/2(–i+j+k)
同理：
a2=a/2(i–j+k) a3=a/2(i+j–k)
• 体心立方固体物理学原胞体积的计算:
复式格子：原胞中原子的数目=每个基元中原子数目 三维情况：为同时反映对称性，结晶学中常取最小
重复单元的几倍作为原胞。因此结点不仅在顶角 还可以在面心、体心上。 固体物理学：只选取反映晶格周期性的原胞。 三维格子的重复单元是平行六面体。 晶格的周期性：r 为重复单元中任意一处的位矢。
Γ(r)=Γ(r+l1a1+l2a2+l3a3) l1 , l2 , l3 整数 a1，a2 ，a3 重复单元的边长矢量，周期
a3
8
4
110
原胞中只含有一个原子.
二、立方晶系中的复式格子
(1)异种原子 1、氯化钠结构 两个面心立方子晶格,各自的原胞具有相同 的基矢,只不过有互相的位移。
可以看出，Na+ FCC结构 固体物理学原胞： 角上放置Na+ 内部包含一个Cl原胞中包含一个Na+, Cl- . 原子（离子）个数：
Na :8 1 6 1 4,Cl :8 1 6 1 4,
β-钨结构
原胞含 1+8×1/8=2个B 12×1/2=6个A
B原子：在顶角及体心 A原子：在每个面2个，在面 中线三维相对面上 A原子排列互相垂直。 6个A原子周围互不相同。组成6个简立方。 体心B原子组成一个简立方。 β-钨结构复式格子，由8个简立方格子套构而成。