位移电流
计算出两者的振幅的比值为：
η = ωε
=
2πf
⋅1
36π
×10 −9
= 9.6 ×10 −19
f
σ
5.8 ×10 7
14
麦克斯韦方程组
英国的科学家麦克斯韦（Maxwell），在前人 的理论基础上，进行了不懈的努力，最终提出 了电磁理论的核心思想----麦克斯韦方程组。 这个创举分三个步骤实现：
1．电场和磁场的数学描述
麦克斯韦采用通量、环量、散度、旋度等 场量，来描述空间中的电场和磁场；将前人的 一些理论加以整理，得到了静电场、恒定电流 场和恒定磁场的方程。
15
麦克斯韦方程组 2．位移电流假设的提出 3．Maxwell方程组的提出 通过前面的一系列成果，特别是位移电流 假设的提出，可以将电场和磁场有机的联系起 来理解。 下面给出Maxwell方程组：
26
时变电磁场的边界条件
两种不良导体
理想导体
一般情况
的边界
的表面
K E
K en
×
K (E1
−
K E2
)
=
0
K en
×
K (E1
−
K E2
)
=
0
K en
×
K E1
=
0
K D
K en
⋅
K (D1
−
K D2
)
=
ρS
K en
⋅
K ( D1
−
K D2
)
=
0
K en
⋅
K D1
=
ρS
K B
K en
⋅
K ( B1
21
麦克斯韦方程组
在没有电荷也没有电流的无源区域中，时变 电场和时变磁场都是有旋无散的，电力线和 磁力线相互交链，自行闭合，即变化的电场 产生变化的磁场，变化的磁场也会激起变化 的电场。 正是由于电场与磁场之间的相互激发、相互 转化，形成了电磁波动，使电磁能量以有限 的速度向远处传播出去，产生电磁波。
KK
K
如果已知电场，则： J d = ∂D ∂t = ε ∂E ∂t
如果已知磁场和传导电流，则：
KK
KK
J d = ∂D ∂t = ∇ × H − J
11
位移电流 法拉第电磁感应定律说明：变化的磁场能够产 生变化的电场。 位移电流假设说明：变化的电场能够产生变化 的磁场。
位移电流演示
12
位移电流
28
时变电磁场的边界条件
en
ε1，μ1，σ1 ε2，μ2，σ2
两种不良导 体的边界
en
ε1，μ1，σ1 σ2=∞
理想导体的 表面
29
时变电磁场的边界条件
两个理想介质的分界面上，时变电磁场的边界 条件总结为：
分界面上无感应电荷与传导电流 电场强度的切向分量相等 磁感应强度的法向分量相等 电通密度的法向分量相等 磁场强度的切向分量相等
K
K
I D = ∫∫S (∂D ∂t) ⋅ dS
K
∂D ∂t 为位移电流密度。
9
位移电流
KK
KK K
满足：∇ ⋅ (J + J D ) = 0 ∫∫S (J + JD ) ⋅ dS = 0
传导电流与位移电流之和为全电流；
在时变电磁场中，传导电流不连续，但全电 流是连续的，称为全电流连续性原理。
例如通有交流电的电容器。
37
能量密度与能流密度矢量
给出时变电磁场的能量定理：
−
∂ ∂t
∫∫∫VωdV
=
∫∫S (E × H ) ⋅ dS
+
∫∫∫V
pdV
对一定空间中的电磁场，方程的左端表示单位 时间内减少的储能；方程的右端第二项表示该 空间中，单位时间内热损耗的能量。因此方程 右端的第一项可以表示，单位时间内流出该空 间的能量，这一项即体现了能量的流动量的大 小。
电流通常会带来功率的损耗，单位体积内的损 耗功率可以表示为：
K
p = σ | E(r,t) |2
36
能量密度与能流密度矢量 电磁波携带着能量向远处传播，于是可以用能 流密度矢量，来表示电磁能量流动的方向和强 度。它也被称为功率流密度矢量或坡印廷矢量。 它的方向为能量（功率）流动的方向，大小为单 位时间内，垂直穿过单位面积的能量。
例7.1 计算铜中的位移电流密度和传导电流密 度的振幅的比值。设铜中的电场为E0sinωt， 铜的电导率σ=5.8×107S/m，ε≈ε0 。
解：
分别求出传导电流密度大小和位移电流密度大 小的表达式为：
J = σE = σE 0 sin ωt
Jd
=
∂D ∂t
=ε
∂E ∂t
= ωεE0
cos ωt
13
− ay)
32
时变电磁场的边界条件
例7.3 设区域Ⅰ(z<0的空间)的电场强度为：
K E1
=
K ex
[60
cos(15
×
10
8
t
− 5z)
+ 20 cos(15×108 t + 5z)](V / m)
区域Ⅱ(z>0的空间)的电场强度为：
K E2
=
K ex
A
⋅
cos(15
×10
8
t
− 5z)(V
/
m)
4
位移电流
前面讲到的理论成果，例如静电场方程和 恒定磁场方程，一般只是在静态、非时变的情 况下成立，不适用于时变的情况。麦克斯韦用 了很长的时间，提出了位移电流的假设，指明 了变化的电场能够产生磁场。
要实现电磁波的传播，使电场和磁场两者 相互激发，并向远处传播，通常需要实现以下 要求：
5
位移电流
a 电流源激发出变化的磁场，理论依据是电流 的磁效应。 b 变化的磁场向远处激发出变化的电场，理论 依据是电磁感应定律。 c 变化的电场再向远处激发出变化的磁场，理 论依据是这里讲到的位移电流假设。
6
位移电流
根据矢量分析中的结论得K 知： ∇⋅∇×H = 0
在自然界中有电荷守K 恒定律：
∇ ⋅ J = − ∂ρ ∂t
25
时变电磁场的边界条件
在时变电磁场中，求解边界条件的方法与前面 的相同。 建立圆柱体，通过电场高斯定律和已知的面电 荷，求解电位移矢量的边界条件；通过磁通连 续性原理，求解磁感应强度的边界条件。
建立矩形面，通过电场守恒定理求解电场强度 的边界条件；通过安培环路定律和已知电流， 求解磁场强度的边界条件。
22
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组中包含的其它方程：
电荷守恒定律－传导电流来自于闭合面内电荷
的变化率。
K
∇ ⋅ J = − ∂ρ ∂t
KK
∫∫S J ⋅ dS = − ∂q ∂t
媒质K 的结构方K 程：K
KK
K
J = σE B = μH D = εE
23
麦克斯韦方程组
介电常数、电导率、磁导率等参数和媒质物 理特性的关系：
−
K B2
)
=
0
K en
⋅
K ( B1
−
K B2
)
=
0
K en
⋅
K B1
=
0
K H
K en
×
K (H1
−
K H2
)
=
K JS
K KK en ×(H1 − H2) = 0
K en
×
K H1
=
K JS
27
时变电磁场的边界条件
基本边界条件： 在任何边界上电场强度的切向分量是连续的。 在任何边界上磁感应强度的法向分量是连续的。 电通密度的法向分量的边界条件与媒质特性有 关。 磁场强度的切向分量的边界条件与媒质特性有 关。
为了满足以上规律，安培环路定律必须做出 修改，这是因为K： K
∇×H = J
K
K
∇ ⋅ ∇ × H = ∇ ⋅ J = − ∂ρ ∂t ≠ 0 矛盾
7
位移电流
为了解决这个问题，麦克斯韦在安培环路定律
的右边加上一项：∂ρ ∂t
改写为：∇
⋅
∇
×
K H
K
= ∇ ⋅ J + ∂ρ
∂t
K 将ρ用 ∇ ⋅ D 代替
∫ H ⋅ dl = I l
变化的磁场向K远处K 激发出变化K 的电场K
∫l E ⋅ dl = −∫∫S (∂B ∂t) ⋅ dS
变化的电场向处激发出变化的磁场
KK
K
K
∫ ∫∫ H ⋅ dl = (∂D ∂t) ⋅ dS
l
S
20
麦克斯韦方程组
时变电场是有旋有散的，因此电力线可以是闭 合的，也可以是不闭合的。时变磁场是无散有 旋的，因此磁力线总是闭合的。 闭合的电力线总和磁力线相交链，不闭合的电 力线从正电荷出发，终止于负电荷。 闭合的磁力线要么与电流相交链，要么与电力 线相交链。
16
麦克斯韦方程组
名称
积分形式
微分形式
全电流 K K
K
K
KK K
定律 ∫l H ⋅ dl = I + ∫∫S (∂D ∂t) ⋅ dS ∇ × H = J + ∂D ∂t
电磁感 应定律
KK
K
K
∫l E ⋅ dl = −∫∫S (∂B ∂t) ⋅ dS
KK ∇× E = −(∂B ∂t)
电场高 斯定律
电磁场与电磁波
第七章 时变电磁场
武汉科技大学 信息科学与工程学院1
本章要点
位移电流的概念 麦克斯韦方程组 时变电磁场的边界条件 能量密度与能流密度矢量 正弦时变电磁场 麦克斯韦方程组的复数形式 能量密度与能量密度矢量的复数形式