专题09 二次函数中动点引起的最短路径及图形存在性问题·最短路径思路点拨：1. 两点之间，线段最短；（1）单动点模型作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置. 如下图所示，P 是x 轴上一动点，求P A +PB 的最小值的作图.OA 、OB 上动点，求作△PMN 周长最小值.作图方法：作已知点P 关于动点所在直线OA 、OB 的对称点P ’、P ’’，连接P ’P ’’与动点所在直线的交点M 、N 即为所求.2. 垂线段最短；3. 若A 、B 是平面直角坐标系内两定点，P 是某直线上一动点，当P 、A 、B 在一条直线上时，PA PB 最大，最大值为线段AB 的长（如下图所示）；O利用三角形面积计算方法（铅垂高水平宽法或底乘高法或割补法等）列出方程求解.·平行四边形存在性问题题型一、单动点周长最短及面积存在性问题（2019·四川凉山州中考）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△P AC 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及△P AC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得S △P AM ＝S △P AC ？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），∴3930a b cca b c-+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得：123abc=-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3.（2）如图，连接PB、BC∵点P在抛物线对称轴直线x＝1上，点A、B关于对称轴对称，P A＝PB，∴C△P AC＝AC+PC+P A＝AC+PC+PB∴当C、P、B在同一直线上时，PC+PB＝CB最小，由勾股定理得：ACBC＝，∴C△P AC设直线BC解析式为y＝kx+3把点B代入得：3k+3＝0，解得：k＝﹣1∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，∴y P＝﹣1+3＝2∴点P（1，2）使△P AC（3）存在满足条件的点M，使得S△P AM＝S△P AC．∵S△P AM＝S△P AC∴点C和点M到直线P A距离相等∴CM∥P A，∵A（﹣1，0），P（1，2），可得直线AP的解析式为：y＝x+1，∴可得过点M 与直线AP 平行的直线解析式为：y ＝x +3或y =x －1，联立2323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩，解得：03x y =⎧⎨=⎩（即点C ），14x y =⎧⎨=⎩∴点M 坐标为（1，4）.或联立2123y x y x x =-⎧⎨=-++⎩，解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（在x 轴下方，舍去），x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 综上所述，点M 的坐标为：（1，4）. 2. （2019·四川达州中考）如图，抛物线y ＝﹣x 2+2x +m +1（m 为常数）交y 轴于点A ，与x 轴的一个交点在2和3之间，顶点为B ．①抛物线y ＝﹣x 2+2x +m +1与直线y ＝m +2有且只有一个交点；②若点M （﹣2，y 1）、点N （12，y 2）、点P （2，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 2＜y 3； ③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y ＝﹣（x +1）2+m ； ④点A 关于直线x ＝1的对称点为C ，点D 、E 分别在x 轴和y 轴上，当m ＝1时，四边形BCDE 周长+其中正确判断的序号是 ．【答案】①③④．【解析】解：①把y ＝m +2代入y ＝﹣x 2+2x +m +1中，得x 2﹣2x +1＝0，∵△＝4﹣4＝0，∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y ＝﹣x 2+2x +m +1与直线y ＝m +2有且只有一个交点，所以①正确；②∵抛物线的对称轴为x ＝1，∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为P′（0，y3），∵a＝﹣1＜0，∴当x＜1时，y随x增大而减小，∵﹣2＜0＜12，点M（﹣2，y1）、点N（12，y2）、点P′（0，y3）在该函数图象上，∴y2＜y3＜y1，所以②错误；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）x+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，所以③正确；④当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，∴此时，四边形BCDE周长＝B′C′+BC=所以④正确；故答案为：①③④．3. （2019·山东潍坊中考）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，S△P AB＝．【答案】125. 【解析】解：联立2145y x y x x =+⎧⎨=-+⎩， 解得，12x y =⎧⎨=⎩或45x y =⎧⎨=⎩， ∴点A 的坐标为（1，2），点B 的坐标为（4，5），∴AB ＝，作点A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B 与y 轴的交于P ，则此时△P AB 的周长最小，点A ′的坐标为（﹣1，2），点B 的坐标为（4，5），设直线A ′B 的函数解析式为y ＝kx +b ，245k b k b -+=⎧⎨+=⎩，得35135k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线A ′B 的函数解析式为y ＝35x +135， 当x ＝0时，y ＝135， 即点P 的坐标为（0，135），将x ＝0代入直线y ＝x +1中，得y ＝1，∵直线y ＝x +1与y 轴的夹角是45°，∴点P 到直线AB 的距离是：（135﹣1）×sin 45°，∴△P AB 的面积是：112255⨯， 故答案为：125． 题型二、利用特殊角将线段转化求解最短路径4. （2019·天津中考）已知抛物线2y x bx c =-+（b 、c 为常数，b >0）经过点A (－1,0)，点M (m ,0)是x 轴正半轴上的动点.（1）当b =2时，求抛物线的顶点坐标；（2）点D （b ，y D ）在抛物线上，当AM =AD ，m =5时，求b 的值；（3）点Q （1,2Q b y +2QM +的最小值为4时，求b 的值. 【答案】见解析.【解析】解：(1)∵2y x bx c =-+经过点A (－1,0)，∴1+b +c =0，即21y x bx b =---∵b =2，∴()2223=14y x x x =---- 即抛物线顶点坐标为（1，－4）.（2）∵点D （b ，y D ）在抛物线21y x bx b =---上，∴y D =－b －1，由b >0，知－b －1<0，∴点D 在第四象限，且在对称轴x =2b 的右侧， 过D 作DE ⊥x 轴于E ，E (b ,0)，∴AE =b +1，BE =b +1，即AE =BE ，∴∠ADE =∠DAE =45°，∴AD AE ，由AM =AD ，m =5，得：5－（－1）（b +1），解得：b －1.（3）∵点Q （1,2Q b y +）在抛物线2y x bx c =-+上， ∴324Q b y =--， 即13,224b Q b ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭， ∵b >0，∴Q 点在第四象限，222QM AM QM ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭所以只要构造出AM QM ⎫+⎪⎝⎭2QM +的最小值取N （1,0），连接AN ，过M 作MG ⊥AN 于G ，连接QM ，如图所示，△AGM 为等腰直角三角形，GM AM ，即当G 、M 、Q 三点共线时，GM +MQ 2QM +取最小值， 此时△MQH 为等腰直角三角形，∴QM 324b ⎫+⎪⎭，GM AM )1m +)322=2124b QM AM QM m ⎫⎤⎫+=++++=⎪⎥⎪⎪⎭⎝⎭⎣⎦ ① ∵QH =MH ，∴324b +=12b m +-，解得：m =124b - ② 联立①②得：m =74，b =4.2QM +时，b =4. 题型三、最短路径与平行四边形存在性问题5. （2019·湖北荆州中考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（6，0），(4，3)，经过B ，C 两点的抛物线与x 轴的一个交点D 的坐标为(1，0).(1)求该抛物线的解析式；(2)若∠AOC 的平分线交BC 于点E ，交抛物线的对称轴于点F ，点P 是x 轴上一动点，当PE ＋PF 的值最小时，求点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，过点A 作OE 的垂线交BC 于点H ，点M ，N 分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M ，N ，使得以点M ，N ，H ，E 为顶点的四边形为平行边形？若存在，直接写出点M 的坐标，若不存在，说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵平行四边形OABC 中，A （6，0），C （4，3）∴BC ＝OA ＝6，BC ∥x 轴∴x B＝x C+6＝10，y B＝y C＝3，即B（10，3）设抛物线y＝ax2+bx+c经过点B、C、D（1，0）∴1001031643a b ca b ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：19149139abc⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩∴抛物线解析式为y＝19-x2+149x139-.（2）如图，作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，∵C（4，3）由勾股定理得：OC＝5，∵BC∥OA∴∠OEC＝∠AOE∵OE平分∠AOC∴∠AOE＝∠COE∴∠OEC＝∠COE∴CE＝OC＝5∴x E＝x C+5＝9，即E（9，3）∴直线OE解析式为y＝1 3 x∵直线OE交抛物线对称轴于点F，对称轴为直线：x＝7，∴F（7，73）∵点E与点E'关于x轴对称，点P在x轴上∴E'（9，﹣3），PE＝PE'∴当点F、P、E'在同一直线上时，PE+PF＝PE'+PF＝FE'最小设直线E'F解析式为y＝mx+n，∴93773m nm n+=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：8321mn⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线E'F：y＝83-x+21，当83-x+21＝0时，解得：x＝638，∴当PE+PF的值最小时，点P坐标为（638，0）．（3）存在满足条件的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形．设AH与OE相交于点G（t，13t），如图所示，∵AH⊥OE于点G，A（6，0）∴∠AGO＝90°∴AG2+OG2＝OA2∴（6﹣t）2+（13t）2+t2+（13t）2＝62∴解得：t1＝0（舍去），t2＝275，∴G（275，95），设直线AG解析式为y＝dx+e可得：直线AG：y＝﹣3x+18，当y＝3时，﹣3x+18＝3，解得：x＝5∴H（5，3），E（9，3）设M(x，y)，N(7,s)，①当四边形HEMN为平行四边形时，有：5+x =9+7,解得：x =11，y =209； ②当四边形HENM 为平行四边形时，有：5+7=9+x ,解得：x =3，y =209； ③当四边形HNEM 为平行四边形时，有：5+9=x +7，解得：x =7，y =4，综上所述，点M 的坐标为：（11，209），（3，209），（7，4）. 题型四、面积最值问题及周长最值问题6. （2019·山东东营中考）已知抛物线y =ax 2+bx －4经过点A (2,0)，B (－4,0)与y 轴交于点C ，（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）如图2，线段AC 的垂直平分线交x 轴于点E ，垂直为D ，M 为抛物线的顶点，在直线DE 上是否存在一点G ，△CMG 的周长最小？若存在，求出点G 的坐标，若不存在，请说明理由.图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）将A 、B 两点坐标代入y =ax 2+bx －4得：424016440a b a b +-=⎧⎨--=⎩，解得：121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为：2142y x x =+-. （2）连接BC ，过点P 作PD ⊥x 轴交BC 于点D ，如图，由题意知，AB =6，OC =4，设直线BC 的解析式为y =kx +m ，得：404k m m -+=⎧⎨=-⎩，解得：14k m =-⎧⎨=-⎩， 即直线BC 的解析式为：y =－x －4，设P (n ，2142n n +-)，则D (n ，－n －4)， S 四边形ABPC =S △ABC +S △BCP =12×AB ×OC +12×PD ×OB =12×6×4+12×[－n －4－（2142n n +-）]×4 =()2216n -++，∵－4<n <0，-1<0，∴当n =－2时，S 四边形ABPC 取最大值，最大值为：16，此时P 点坐标为（－2，－4）.（3）存在，如图，连接AM ，交DE 于点G ，此时△CMG 的周长最小，∵DE 是线段AC 的垂直平分线，∴C与点A关于直线DE对称，∴GC=GA，即GC+GM=GA+GM，根据两点之间线段最短的原则，当A、G、M共线时最短，由题意知，A(2，0)，C(0，－4)，∴D(1，－2)，AE=CE，设E（e，0），则AE=2－e，CE2=16+e2∴(2－e)2=16+e2解得：e=－3，即E（－3,0）可得：直线DE的解析式为：y=12-x－32，由A(2,0)，M（－1，92-）得直线AM的解析式为：y=32x－3，联立：y=12-x－32，y=32x－3得：x=34，y=158-，即G点坐标为：（34，158-）.。