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动点问题中的最值、最短路径问题(解析版)

专题01 动点问题中的最值、最短路径问题动点问题是初中数学阶段的难点,它贯穿于整个初中数学,自数轴起始,至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值,函数的综合类题目,无不包含其中.其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变,而其中又有一些技巧性很强的数学思想(转化思想),本专题以几个基本的知识点为经,以历年来中考真题为纬,由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法.一、基础知识点综述1. 两点之间,线段最短;2. 垂线段最短;3. 若A、B是平面直角坐标系内两定点,P是某直线上一动点,当P、A、B在一条直线上时,PA PB 最大,最大值为线段AB的长(如下图所示);(1)单动点模型~作图方法:作已知点关于动点所在直线的对称点,连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置. 如下图所示,P是x轴上一动点,求PA+PB的最小值的作图.P是∠AOB内一点,M、N分别是边OA、OB上动点,求作△PMN周长最小值.作图方法:作已知点P关于动点所在直线OA、OB的对称点P’、P’’,连接P’P’’与动点所在直线的交点M、N即为所求.O5. 二次函数的最大(小)值()2y a x h k=-+,当a>0时,y有最小值k;当a<0时,y有最大值k.二、主要思想方法利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. (详见精品例题解析)~三、精品例题解析例1. (2019·凉山州)如图,正方形ABCD中,AB=12,AE=3,点P在BC上运动(不与B、C重合),过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q,则CQ的最大值为例2. (2019·凉山州)如图,已知A 、B 两点的坐标分别为(8,0),(0,8). 点C 、F 分别是直线x =-5和x 轴上的动点,CF =10,点D 是线段CF 的中点,连接AD 交y 轴于点E ,当△ABE 面积取最小值时,tan ∠BAD =( ) x yA B CFD EO x=-5A . 817B . 717C . 49D . 59例3. (2019·南充)如图,矩形硬纸片ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴及原点上滑动,顶点B 在x 轴的正半轴及原点上滑动,点E 为AB 的中点,AB =24,BC =5,给出结论:①点A 从点O 出发,到点B 运动至点O 为止,点E 经过的路径长为12π;②△OAB 的面积的最大值为144;③当OD 最大时,点D 的坐标为)2626125,262625(,其中正确的结论是 (填写序号).#例4. (2019·天津)已知抛物线2y x bx c =-+(b 、c 为常数,b >0)经过点A (-1,0),点M (m ,0)是x 轴正半轴上的动点,若点Q (1,2Q b y +22AM QM +332时,求b 的值.例5. (2019·舟山)如图,一副含30°和45°角的三角板ABC 和EDF 拼合在个平面上,边AC 与EF 重合,12AC cm =.当点E 从点A 出发沿AC 方向滑动时,点F 同时从点C 出发沿射线BC 方向滑动.当点E 从点A 滑动到点C 时,点D 运动的路径长为 cm ;连接BD ,则△ABD 的面积最大值为 2cm .。

例6. (2019·巴中)如图,在菱形ABCD中,连接BD、AC交于点O,过点O作OH⊥BC于点H,以O 为圆心,OH为半径的半圆交AC于点M.(1)求证:DC是圆O的切线;(2)若AC=4MC,且AC=8,求图中阴影部分面积;(3)在(2)的前提下,P是线段BD上的一动点,当PD为何值时,PH+PM的值最小,并求出最小值.ABCDHOMN专题01 动点问题中的最值、最短路径问题(解析)|例1. (2019·凉山州)如图,正方形ABCD中,AB=12,AE=3,点P在BC上运动(不与B、C重合),过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q,则CQ的最大值为【答案】4.【解析】解:∵PQ⊥EP,∴∠EPQ=90°,即∠EPB+∠QPC=90°,∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠C=90°,∠EPB+∠BEP=90°,∴∠BEP=∠QPC,∴△BEP∽△CPQ,∴BE BP CP CQ=,【∵AB=12,AE=3,∴BE=9,设CQ=y,BP=x,CP=12-x,(0<x<12)∴912xx y=-,即()()21216499x xy x-==--+,∴当x=6时,y有最大值为4,即CQ的最大值为4.【点睛】此题为“一线三直角模型”,解题方法为相似三角形性质求解,综合利用二次函数的性质求解最值问题.例2.(2019·自贡)如图,已知A、B两点的坐标分别为(8,0),(0,8). 点C、F分别是直线x=-5和x轴上的动点,CF=10,点D是线段CF的中点,连接AD交y轴于点E,当△ABE面积取最小值时,tan∠BAD=()A.817B.717C.49D.59)【答案】B.【解析】解:S△ABE=142BE OA BE ⨯⨯=,当BE取最小值时,△ABE面积为最小值.设x=-5与x轴交于点G,连接DG,因为D为CF中点,△CFG为直角三角形,所以DG=15 2CD=,∴D点的运动轨迹为以G为圆心,以5半径的圆上,如图所示由图可知:当AD与圆G相切时,BE的长度最小,如下图,!过点E作EH⊥AB于H,∵OG =5,OA =8,DG =5,在Rt △ADG 中,由勾股定理得:AD =12,△AOE ∽△ADG , ∴AO AD OE DG=, 求得:OE =103, 由OB =OA =8,得:BE =143,∠B =45°,AB=∴EH =BH=23BE =,AH =AB -BH=3, ∴tan ∠BAD=717EH AH ==, 故答案为B .$【点睛】此题解题的关键是找到△ABE 面积最小时即是AD 与D 的远动轨迹圆相切的时刻. 进而构造以∠BAD 为内角的直角三角形,利用勾股定理求出边长,代入三角函数定义求解.例3. (2019·南充)如图,矩形硬纸片ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴及原点上滑动,顶点B 在x 轴的正半轴及原点上滑动,点E 为AB 的中点,AB =24,BC =5,给出结论:①点A 从点O 出发,到点B 运动至点O 为止,点E 经过的路径长为12π;②△OAB 的面积的最大值为144;③当OD 最大时,点D 的坐标为)2626125,262625(,其中正确的结论是 (填写序号).【答案】②③.【解析】解:根据题意可知:OE=12AB=12,即E的轨迹为以O为圆心以12为半径的四分之一圆(第一象限的部分),根据弧长公式,得点E的路径长为:9012180π⨯⨯=6π,故①错误;因为AB=24,当斜边AB上的高取最大值时,△OAB的面积取最大值,点O在以AB为直径的圆上(圆心为E),当OE⊥AB时,斜边AB上的高最大,!所以△OAB的面积取最大值为:124122⨯⨯=144,故②正确;连接OE、DE,得:OD≤OE+DE,当O、E、D三点共线时取等号,即OD的最大值为25,如图,过点D作DF⊥y轴于F,过点E作EG⊥y轴于G,可得:25DF OD ==, 即:1225EG DF =, 512AF AD EG AE ==,即:51125AF EG DF ==, %设DF =x ,在Rt △ADF 中,由勾股定理得:221255x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,解得:x 在Rt △ODF 中,由勾股定理得:OF 即点D 的坐标为)2626125,262625(,故③正确. 综上所述,答案为:②③.例4.(2019·天津)已知抛物线2y x bx c =-+(b 、c 为常数,b >0)经过点A (-1,0),点M (m ,0)是x 轴正半轴上的动点.若点Q (1,2Q b y +2QM +的最小值为4时,求b 的值.【答案】见解析.【解析】解:∵2y x bx c =-+经过点A (-1,0), ∴1+b +c =0,即21y x bx b =--- ∵点Q (1,2Q b y +)在抛物线2y x bx c =-+上, :∴324Q b y =--, 即13,224b Q b ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭, ∵b >0,∴Q 点在第四象限,2222AM QM AM QM ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭所以只要构造出22AM QM ⎛⎫+⎪⎝⎭即可得到22AM QM +的最小值取N (1,0),连接AN ,过M 作MG ⊥AN 于G ,连接QM ,如图所示,△AGM 为等腰直角三角形,GM =22AM ,即当G 、M 、Q 三点共线时,GM +MQ 22AM QM +取最小值,此时△MQH 为等腰直角三角形,[∴QM =2QH =3224b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,GM =22AM =()212m + ∴()223332222=21222244b AM QM AM QM m ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+=++++= ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ① ∵QH =MH ,∴324b +=12b m +-,解得:m =124b - ② 联立①②得:m =74,b =4. 即当22AM QM +的最小值为3324时,b =4. 【点睛】此题需要利用等腰直角三角形将22AM QM +转化为22AM QM ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,进而根据两点之间线段最短及等腰三角形性质求解.例5. (2019·舟山)如图,一副含30°和45°角的三角板ABC 和EDF 拼合在个平面上,边AC 与EF 重合,12AC cm =.当点E 从点A 出发沿AC 方向滑动时,点F 同时从点C 出发沿射线BC 方向滑动.当点E 从点A 滑动到点C 时,点D 运动的路径长为 cm ;连接BD ,则△ABD 的面积最大值为 2cm .【答案】2362243126-;|【解析】解:如图1所示,当E运动至E’,F滑动到F’时,D'图1过D’作D’G⊥AC于G,D’H⊥BC交BC延长线于点H,可得∠E’D’G=∠F’D’H,D’E’=D’F’,∴Rt△E’D’G≌Rt△F’D’H,∴D’G=G’H,∴D’在∠ACH的角平分线上,即C,D,D’三点共线.通过分析可知,当D’E’⊥AC时,DD’的长度最大,随后返回初始D点,如图2所示,D点的运动路径为D→D’→D,行走路线长度为2DD’;《BD'图2∵∠BAC =30°,AC =12,DE =CD∴BC=CD =DE=由图知:四边形E ’CF ’D ’为正方形,CD ’=EF =12,∴DD ’=CD ’-CD=12-D 点运动路程为2DD ’=24-D'图3如图3所示,当点D 运动至D ’时,△ABD ’的面积最大,最大面积为:'''''''ABCAE D BD F E CF D SS S S ++-△△△正方形>=(((211112222⨯+⨯--⨯⨯ =【点睛】准确利用全等、角平分线判定得到D 点的运动轨迹是关键,利用三角函数及勾股定理求解,计算较为繁琐,尤其是利用割补法求解三角形的面积时对学生计算能力要求较高,此题难度较大,新颖不失难度.例6. (2019·巴中)如图,在菱形ABCD 中,连接BD 、AC 交于点O ,过点O 作OH ⊥BC 于点H ,以O 为圆心,OH 为半径的半圆交AC 于点M .(1)求证:DC 是圆O 的切线;(2)若AC =4MC ,且AC =8,求图中阴影部分面积;(3)在(2)的前提下,P是线段BD上的一动点,当PD为何值时,PH+PM的值最小,并求出最小值.B D【答案】见解析.【解析】(1)证明:$过点O作ON⊥CD于N,AC是菱形ABCD的对角线,∴AC平分∠BCD,∵OH⊥BC,ON⊥CD,∴OH=ON,又OH为圆O的半径,∴ON为圆O的半径,即CD是圆O的切线.(2)由题意知:OC=2MC=4,MC=OM=2,即OH=2,在Rt △OHC 中,OC =2OH ,可得:∠OCH =30°,∠COH =60°,由勾股定理得:CH==23OCH OMHS S S π-=△阴影扇形(3)作点M 关于直线BD 的对称点M ’,连接M ’H 交BD 于点P , 可知:PM =PM ’即PH +PM =PH +PM ’=HM ’,由两点之间线段最短,知此时PH +PM 最小, ∵OM ’=OM =OH ,∠MOH =60°,∴∠MM ’H =30°=∠HCM ,∴HM ’=HC=即PH +PM的最小值为在Rt △M ’PO 及Rt △COD 中,OP =OM ’ tan 30°,OD =OC tan 30°, 即PD =OP +OD=B D。

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