−∞
+∞
+∞
0
Ae −αt ⋅ e − j 2πft dt =
1.4 求符号函数（题图 1-1a）和单位阶跃函数（题图 1-1b）的频谱.
1
w.
2π
− jA jA 1 − jnπ A (1 − cos nπ ) + × e + e jnπ = − j nπ nπ 2 nπ 2A ⎧ ⎪ −j ; n = ±1,±3,±5,⋅ ⋅ ⋅ =⎨ nπ ⎪ n = ±2,±4,±6,⋅ ⋅ ⋅ ⎩ 0; =
dt 1 = dx ω 0
1 x0 ⎛ x (t ) ⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎜ x ⎟ ⎝ 0 ⎠
2
=
1
2 − x 2 (t ) ω 0 x0
p ( x) = lim
当 T=5s 时， A(ω 3 ) = 0.90 ，误差为 8% 2.3 求周期信号 x(t ) = 0.5 cos10t + 0.2 cos 100t − 45 ，通过传递函数为 H (s ) =
sin ωt + 90 o − arctg (τω ) cos(ωt − arctgτω )
(
)
解： 写成标准形式
答 案
H (ω ) =
[ jω )2 + 2ξω n ( jω ) + ω n2 ] ( jτω + 1)(
2
后
(1256) 1 = ⋅ ×2 2 (0.01 jω + 1) − ω + 2 × 1256ξ ( jω ) + (1256)2
(
)
1 的一阶装置后，试求其包括瞬态过程 2s + 1
x(t ) = cos(ωt ) = sin ωt + 90 o
H (s ) =
(
)
1 1 ， A(ω ) = ， φ = −arctg (τω ) 2 τs + 1 1 + (τω ) 1 1 + (τω ) 1 1 + (τω )
2 2
y (t ) =
w.
)
−∞
=∫
+T
(
)
kh
( α > 0, t ≥ 0) 的频谱
X ( f ) = ∫ x(t )e − j 2πft dt = ∫ cos 2πf 0 te − j 2πft dt
−∞ −T
+∞
+T
X ( f ) = ∫ x (t )e − j 2πft dt = ∫
−∞
+∞
(e
−αt
sin 2πf 0t e
信号及其描述习题
1.1 求周期方波（图 1-4）的傅立叶级数（复指数函数形式） 。画出频谱图|Cn|—ω ；φn—ω 图 并与表 1-1 对比。 解：傅立叶级数的复指数形式表达式： x(t ) = 式中：
n = −∞
∑C e
n
+∞
jnω 0 t
; n = 0,±1,±2,±3,⋅ ⋅ ⋅
1 Cn = T0
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
kh
≈ 98.7%
da
即 A(ω ) =
1
= 95% ，
o
答 案
当 T=2s 时， A(ω 2 ) = 0.67 ，误差为 33%
网
当 T=1s 时， A(ω1 ) = 0.41 ，即 AY = 0.41Ax ，误差为 59%
ww
( )
1 + (0.35ω )
2
=
⎛ 0.7π ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ 7 ⎠
w.
2
A(ω ) =
1
1
kh
1 0.05s + 1
1 T0
∫
T0
0
x0 sin ωtdt =
xrms =
1 T0
∫
T0
0
x 2 (t ) dt =
1 T0
∫ (x
T0 0
sin ωdt ) dt =
1.3 求指数函数 x (t ) = Ae −αt ; (α > 0; t ≥ 0) 的频谱。 解：
X ( f ) = ∫ x (t ) e − j 2πft dt = ∫
)
1.7 设有一时间函数f(t)及其频谱(题图 1-3 所示)，现乘以余弦型振荡cosω0t ，(ω0>ωm)。在 这个关系中，函数 f(t) 叫做调制信号，余弦型振荡 cosω0t 叫做载波。试求调幅信号 f(t)cosω0t的傅立叶变换。示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0<ωm时将会出现什 么情况？ 解： +∞ +∞
co m
1 ⎡ T ⎤ 1 2 Δt lim x ⎥ = lim ⋅ ⎢ Δx→0 Δx T →∞ T ⎦ Δx→0 Δx T ⎣ 2 dt 1 = ⋅ = 2 T dx π x0 − x 2 (t )
ω 2 = 100 ， A(ω 2 ) = 0.89 ， φ (ω 2 ) = −26.57 o
w.
4
co m
成的系统的总灵敏度（不考虑负载效应） 解： H (ω ) = H 1 (ω ) ⋅ H 2 (ω )
H 1 (ω ) =
1 .5 3 ， S1 = 3 = 3 .5 S + 0 .5 7 S + 1
2 41ω n ， S 2 = 41 2 S 2 + 1.4ω n S + ω n
H 2 (ω ) =
2)单位阶跃函数的频谱:
x 2 (t ) = lim e
α →0
−α t
x (t )
;
X2( f ) =
∫ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
+ ∞ −α t 1 − j 2πft x 2 (t )e − j 2πft dt = lim ⎛ dt ⎞ ⎜ ∫0 e e ⎟= α → 0⎝ ⎠ j 2πf
1.5 求被截断的余弦函数cosω0t（题图 1-2）的傅立叶变换。
2
=
1 1 + (0.005ω )
2
， φ (ω ) = −arctg (0.005ω )
ω1 = 10 ， A(ω1 ) = 1 ， φ (ω1 ) − 2.86 o
x(t1 ) = 0.5 × 1 ⋅ sin 10t + 90 o − 2.86 o ，
3
(
)
da
)
w.
2.2 用一个时间常数为 0.35s 的一阶装置去测量周期分别为 1s，2s，5s 的正弦信号，问幅值 误差将是多少？
课
后
= ∫ e −αt ⋅
j − j 2π f 0 t − e j 2πf0t e − j 2πft dt e 0 2 ⎞ j⎛ 1 1 ⎟ = ⎜ − ⎜ 2 ⎝ α + j 2π ( f + f 0 ) α + j 2π ( f − f 0 ) ⎟ ⎠
+∞
(
X ( f ) = ∫ x (t )e − j 2πft dt = ∫
3155072 的系统对正弦输入 (1 + 0.01 jω )(1577536 + 176 jω − ω 2 )
kh
da
×2
=
= 1.69 × 0.99 = 1.7
对正弦波， u x =
A 2
=
1.7 × 10 2
= 12
2.9 试求传递函数分别为
2 41ω n 1 .5 和 的两个环节串联后组 2 2 S 2 + 1.4ω n S 2 + ω n S 2 + 1.4ω n S 2 + ω n
2
所以：
n = −∞
2 2 Cn = C nR + C nI =
相位频谱：
后
傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。 1.2 求正弦信号 x(t)=x0sinωt的绝对均值μ|x |和均方根值x rms 解：
答 案
⎛ 2A ⎞ ⎧ π ⎜− ⎟ ⎪ − ; n = 1,3,5,⋅ ⋅ ⋅ CnI ϕ n = arctg = arctg ⎜ nπ ⎟ = ⎨ 2 CnR 0 ⎟ ⎪π ; n = −1,−3,−5,⋅ ⋅ ⋅ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎩2
解：
答 案
： x (t ) = e −αt sin ω 0 t ; 1.6 求指数衰减振荡信号（见图 1-11b） 解： − j 2πft
网
= T [sin c ⋅ θ 1 + sin c ⋅ θ 2 ]
ww
+∞ 0
1 − j 2πf 0t e + e j 2πf 0t e − j 2πft dt −T 2 ⎡ sin π ( f + f 0 )2T sin π ( f − f 0 )2T ⎤ =T⎢ + π ( f − f 0 )2T ⎥ ⎣ π ( f + f 0 )2T ⎦
y (t 2 ) = 0.2 × 0.89 ⋅ sin 100t − 26.57 o + 45 o
(
) ( )
∴ y (t ) = 0.5 sin 10t + 87.14 o + (−0.178) sin 100t + 18.43o
2.7 将信号 cos ωt 输入一个传递函数为 H (s ) = 在内的输出 y(t ) 的表达式。 解：
网
2 a ⋅ ωn
(
课
∴ A(ω ) =
1 1 + (62.8 × 0.01)
2
ww
)
× 1 ⎡ ⎛ 62.8 ⎞ ⎤ 176 ⎟ ⎥ + ⎢1 − ⎜ ⎢ ⎝ 1256 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 1577536
2 2
x(t ) = 10 sin (62.8t ) 的稳态响应的均值显示。