f [x, x0 ,⋯, xn−1 ] = f [x0 , x1 ,⋯, xn ] + f [ x, x0 ,⋯, xn ]( x − xn ) (d )
⋯⋯
× ( x − x0 )( x − x1 )⋯( x − xn−1 )
⋯ (b)式两边同乘以 式两边同乘以, 将(b)式两边同乘以,( x − x0 ) ,(c)式两边同乘以 ( x − x 0 )( x − x1 )， ⋯ ,(c)式两边同乘以 (d)式两边同乘以 (d)式两边同乘以 ( x − x0 )( x − x1 )⋯ ( x − x n−1 ) ,把所有式子相加,得 把所有式子相加, f ( x ) = f ( x 0 ) + f [ x 0 , x1 ]( x − x 0 ) + f [ x 0 , x1 , x 2 ]( x − x 0 )( x − x1 ) + ⋯ + f [ x 0 , x 1 , ⋯ , x n ]( x − x 0 )( x − x 1 ) ⋯ ( x − x n − 1 ) + f [ x , x 0 , ⋯ , x n ]( x − x 0 )( x − x 1 ) ⋯ ( x − x n − 1 )( x − x n )
j =1
( x j − x0 )⋯( x j − x j −1 )( x j − x j +1 )⋯( x j − xn ) n+1 f ( xj ) f [ x1，x2， xn+1 ] = ∑ ⋯ ( ( j =1 ( x j − x1 )⋯ x j − x j −1 )(x j − x j +1 )⋯ x j − xn+1 )
⋮ xk ⋮
⋮ f ( xk )
⋯
⋯ f [x0 , x1,⋯, xk ]
⋮
计算顺序:同列维尔法， 计算顺序:同列维尔法，即每次用前一列同行的差商与前一列 上一行的差商再作差商。 上一行的差商再作差商。
4.2 牛顿插值多项式
1 牛顿插值多项式的推导 ） 函数表（ ） 由差商定义及对称性， 已知 y = f (x) 函数表（4.1）, 由差商定义及对称性，得 （4 . 1 f ( x ) − f ( x0 ) ⇒ f ( x ) = f ( x 0 ) + f [x , x 0 ]( x − x 0 ) ( a ) f [x , x 0 ] = x − x0 f [ x, x0 ] − f [ x0 , x1 ] f [x, x0 , x1 ] = x − x1 ⇒ f [ x , x ] = f [ x , x ] + f [x , x , x ]( x − x ) (b )
f ( x j ) − f ( xi ) x j − xi
,
的一阶差商表，再作一次差商， （2）由函数 = f ( x ) 的一阶差商表，再作一次差商，即 ）由函数y=
f [ x j , xk ] − f [ xi , x j ] , f xi , x j , xk ≡ xi , x j , xk f ( x ) ≡ xk − xi
i =0 i≠ j
2） 是对称的， （2）k 阶差商 f [x0, x1,⋯, xk ] 关于节点 x0 , x1 ,⋯, xk 是对称的，或说 均差与节点顺序无关 与节点顺序无关， 均差与节点顺序无关，即 f [x0 , x1 ,⋯, xk ] = f [x1 , x0 ,⋯, xk ] = ⋯ = f [xk , xk −1 ,⋯, x0 ] 例如： 例如：f xi , x j , xk = f [xi , xk , x j ,] = f x j , xi , xk = f [x j , xk , xi ]
xn+1 − x0 ( x j − x0 )(x j − x1 )⋯( x j − x j −1 )(x j − x j +1 )⋯( x j − xn+1 ) n+1 f ( xj ) # =∑ ( ( j =0 ( x j − x0 )(x j − x1 )⋯ x j − x j −1 )(x j − x j +1 )⋯ x j − xn+1 )
n+1
时成立， 假设当 k = n 时成立，即有
f [ x0，x1， xn ] = ∑ ⋯
j =0
n
f (xj )
则由定义 f [x1 , x2 ,⋯ xn +1 ] − f [x0 , x1 ,⋯, xn ] f [ x0 , x1,⋯, xn，xn+1] ≡ xn +1 − x0 1 f ( xn+1) − f ( x0 ) ( ) = + xn+1 − x0 (xn+1 − x1)(xn+1 − x2 )⋯( xn+1 − xn ) (x0 − x1)(x0 − x2 )⋯( x0 − xn )
[
] [
]
称为y 二阶差商（二阶均差） 称为 = f ( x ) 在点 x i , x j , x k 的二阶差商（二阶均差）； 即
n－1阶 － 差商
－ 阶差商表可定义函数的n阶差商。 （3）一般由函数 = f (x ) 的n－1阶差商表可定义函数的 阶差商。 ）一般由函数y=
ff [x1 , x2 ,⋯,x n ] − f [x 0 , x1 ,⋯, x n−1 ] xn 0 1 n−1 ≡ f [x0 , x1 ,⋯, xn ] ≡ [x0 , x1 ,⋯, xn ] f（x） xn − x0
f [x0 , x1 ,⋯, xk ] = ∑
k j =0
f (xj )
( x j − x0 )(x j − x1 )⋯( x j − x j−1 )(x j − x j+1 )⋯( x j − xk ) k k f (xj) f (x j ) =∑ k =∑ j =0 ′ Π ( x j − x i ) j = 0 ω k +1 ( x j )
称为函数y= f ( x ) 在 x0 , x1 , ⋯ , x n 点的n阶差商（n阶均差）。 称为函数 = 点的 阶差商（ 阶均差） 阶差商 阶均差
2 基本性质 定理5 ） 定理 （1）f (x) 的k阶差商 f [x0 , x1,⋯, xk ] 是函数值 f (x0 ), f (x1 ),⋯, f (xk ) 阶差商 的线性组合， 的线性组合，即
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x1 ) − f ( x0 ) f [ x0，x1 ] = + =1时 当k =1时, ⇐ f [x0 , x1 ] = x0 − x1 x1 − x0 x1 − x0 利用(1)很容易得到。 (1)可用归纳法证明。(2)利用(1)很容易得到。只证(1) )可用归纳法证明。(2)利用(1)很容易得到 只证(1) f ( x1 ) − f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x1 ) （ =1时 = + 证明： ） 证明： 1）当k =1时, f [x0 , x1 ] = x1 − x0 x0 − x1 x1 − x0
f [ x , x 0 , x1 , x 2 ] = f [ x , x 0 , x1 ] − f [ x 0 , x1 , x 2 ] x − x2 ⇒ f [ x , x 0 , x1 ] = f [ x 0 , x1 , x 2 ] + f [ x , x 0 , x1 , x 2 ]( x − x 2 ) ( c )
f [x2 , x3 ] f [x1, x2 , x3 ] f [x3 , x4 ] f [x2 , x3 , x4 ]
⋮ ⋮ f [xk−1, xk ] f [xk−2 , xk−1, xk ]
f [x0 , x1, x2 , x3 ] f [x1, x2 , x3 , x4 ]
⋮ ⋱
f ( x4 )
⇒ f [x, x0 ,⋯, xn−1 ] = f [x0 , x1 ,⋯, xn ] + f [ x, x0 ,⋯, xn ]( x − xn ) (d )
f x x x ] x − xx f [ x,, x00]]= f [ x0 , x1 ] + f [x,, x00,,x11(]( x − 1 )1 ) (b) x
假设当 k = n 时成立，即有 时成立，
f [ x0，x1， xn ] = ∑ ⋯
j =0
n
f ( xj ) ( x j − x0 )⋯( x j − x j −1 )(x j − x j +1 )⋯( x j − xn )
f ( xj )
f [ x1，x2， xn+1] = ∑ ⋯ ( ( j =1 ( x j − x1 )⋯ x j − x j −1 )(x j − x j +1 )⋯ x j − xn+1 )
( x i ≠ x j ,当 i ≠ j )
定义为f( ) 定义为 (x) 的差商
即有定义： 即有定义：
定义4 定义 （1）对于[ xi , x j ] ，称 f [x i , x j ] ≡ [x i , x j ] f ( x ) ≡ 为函数 f ( x ) 在 x i , x j 的一阶差商（一阶均差）； 一阶差商（一阶均差 均差）；
[
]
[ ] = f [x , x , x ] = f [x , x , x ]
k j i
k i j
共6个 个
f [x0 , x1 ,⋯, xk ] = ∑
k j =0
分析 ：
f ( xj ) ( x j − x0 )(x j − x1 )⋯( x j − x j−1 )(x j − x j+1 )⋯( x j − xk )
+∑
n
f ( xj )
⋅
( x j − x0 ) − ( x j − xn+1 )
3 差商表
表2.4
一阶差商 二阶差商 三阶差商 k 阶差商