f[x1,x2 , x3]- f[x0,x1, x2]
f[x0,x1,x2]
x3 – x0
x3 f(x3)
……
f[x2,x3 ] f[x1,x2,x3]
…
f[x0,x1,x2 ,x3]
例2.11 求 f(x)= x3在节点 x=0, 2, 3, 5, 6上 的各阶差商值。
解: 计算得如下表
xi f[xi] f[xi,xi+1]
➢ 要确定牛顿插值多项式Nn(x)系数，需要利用
下一节差商的计算。
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差商及其性质
3.1 差商及其性质
定义：函数y= f(x)在区间[xi ,xi+1]上的平均变化率
f[x i , xi1]
f(x i1) f(x i ) xi1 xi
称为f(x)关于xi , xi+1 的1阶差商。
定义2阶差商
计算方法 (Numerical Analysis)
第2次 Newton 插值
1. 牛顿插值多项式的概念 2. 差商及其性质 3. 牛顿插值多项式的系数与误差余项的导出 4. 利用牛顿插值多项式近似求解的例子
牛顿插值多项式的概念
§3 均差与牛顿插值多项式
拉格朗日插值多项式的优点与缺点
➢ 优点：结构对称，使用方便。
f[x j , xk ] f[xi , x j ] xk xi
例如：f[x 0 , x1, x2 ]
f[x 1, x2 ] f[x 0 , x1] x2 x0
一般地,可定义[xi, xi+1 ,…, xi+n]上的n阶差商：
f[x i , xi1,..., xin ]
f[x i1, xi2 ,..., xin ] f[x i , xi1,..., xi ] n1 xin xi
f[x i , xi1, xi2 ]
f[x i1, xi2 ] f[x i , xi1] xi2 xi
定义m阶差商
f[x 0 , x1, … xm ]
f[x1, x2 , … xm ] f[x 0 , x1, … xm1] xm x0
2阶差商 f[xi, xj, xk]是指
f[xi , x j , xk ]
f(x0 )
f(x1)
f(x2 )
(x0 x1)(x 0 x2 ) (x1 x0 )(x1 x2 ) (x2 x0 )(x2 x1)
f[x0 , x1..., xn ]
真漂亮
n
f(xk )
k0 (xk x0 ) (xk xk 1)(x k xk1) (xk xn )
➢ 缺点：由于是用基函数构成的插值，要增加 一个节点时，所有的基函数必须全部重新计 算，不具备承袭性，还造成计算量的浪费。
例如：3个节点，抛物插值的情况：
l0(x)
(x (x 0
x1)(x x2) x1)(x 0 x2 )
l1(x)
(x x0 )(x x2) ， (x1 x0 )(x1 x2 )
或者表示成
f[x0 , x1..., xn]
n k0
f(xk ) , ω(xk )
其中ω(xk
)
n
(xk
i0
xi)
ik
以上公式可以利用如下的表达式直接验证
n
ω(x) (xk xi ) i0
应理解：右端分母中，xk-xk 项永远不出现。
00
f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+3]
28 3 27 5 125 6 216
80 4 20
27 8 32
19
19 4 30
5
125 27 53
49
49 19 52
10
216 125 91 65
91 49 63
14
10 5 50
1
14 10 62
为了方便地计算差商，需要建立差商表。表中的箭头 指向表示更高阶差商所需要的低阶差商的参与。
xi f[xi] f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2，xi+3]
x0 f(x0) x1 f(x1) x2 f(x2)
f[x0,x1] f[x1,x2]
f[x1,x2]- f[x0,x1] x2 – x0
无x n ,将出现在系数中 （3.12）
其中ak (k=0,1,2,…,n)为待定系数。
它满足以下的递推公式：
Nn(x) Nn1(x) an(x x0 )(x x1) …(x xn1)
➢ 牛顿插值多项式Nn(x)是插值多项式p(x)的另 一种表示形式,
➢ 与Lagrange多项式相比 • 它克服了“增加一个节点时整个计算工作重 新开始”的缺点, • 节省乘除法运算次数, • 在Newton插值多项式中用到的差商等概念， 又与数值计算的其他方面有密切的关系.
l20 )(x 2 x1)
若要新增加一个节点，而进行3次插值的时候， 则需要重新计算
l1(x)，l 2 (x)，l 3 (x) 并且增加l 4(x).
➢ 试图改进：我们要构造一种具有承袭性的插 值多项式P(x)来克服这个缺点，
➢ 即，每增加一个新节点时，只需在P(x)原来 的表达式中增加相应的一项即可，而不改变 P(x)的原来已经存在的表达式部分。
基函数： (x-x0 ), (x-x0 )(x-x1 ), …，(x-x0 )(x-x1 )…(x-xn-1)
定义：给定n+1个插值节点x0 , x1 ,…, xn, 如 下形式的插值多项式称为Newton插值多项式：
Nn(x) a0 a1(x x0 ) a2(x x0 )(x x1) … an(x x0 )(x x1) … (x xn1)
1
差商的性质
性质1 函数 f(x) 的 n 阶差商 f [x0, x1 , …, xn ] 可 由 f (x0), f (x1 ), … , f (xn ) 的线性组合表示：
f[x 0 , x1]
f(x 0 ) x0 x1
f(x 1) x1 x0
验证 同学自己验证
f[x0 , x，1 x2]
➢ 这就是牛顿插值多项式的特点。
可以证明, 可将满足插值条件 p(x0) = y0 , p(x1) = y1 ，… p(xn) = yn
的n次插值多项式, 写成如下形式:
a0 a1(x x0 ) … an(x x0 )(x x1) …(x xn1)
其中ak (k=0,1,2,…,n)为待定系数。