2.4.3 材料物理方程
（二）对于平面应变问题 3、将E换成 ，μ换成 ，可将 两种平面问题的应力应变关系写成如 下简洁的矩阵形式 σ=Dε 平面应力问题：
E1=E，μ1=μ 平面应变问题：
51
2.4.4 边界条件
位移边界条件 给定位移边界 Su ，物体的位移分量必须
等于边界上的已知位移，即
x
41
2.4.2 几何方程
（二）建立几何方程 1、定义x方向的线应变
y u
v v dy y u dy y
B'' B
xy
B'
A'
yx
v dx x
dy P' v P o u dx A'' A
u u dx x
v
x
42
2.4.2 几何方程
（二）建立几何方程 2、定义y方向的线应变
52
2.4.4 边界条件
力边界条件 给定面力边界 Sσ ，应力分量与面力分量
应满足平衡关系，在力边界点即在该点 的分布面力的两个分量为
53
2.4.5 平面问题的基本解法
8个未知变量 u，v，εx，εy，γxy，σx，σy，τxy 8个独立方程 平衡微分方程
xy yx

18
2.2 弹性力学中的基本量
（三）应力 1、应力6分量
19
2.2 弹性力学中的基本量
（三）应力 2、应力分量的正负约定
当外法线方向与坐标轴正向一致时为正坐 标面，如图中所示。反之，为负坐标面。 正坐标面上的应力分量以沿坐标正方向为 正，负坐标面上的应力分量以沿坐标的负 向为正。 2 应力的量纲是[力/长度 ]
8
2.1 弹性力学中的基本假设
（二）变形体的描述 5 、小变形假设：物体变形远小于物体的几 何尺寸，在建立方程时，可以忽略高阶小量 （二阶以上）。 假设物体在载荷或温度变化等因素作用下各 点所产生的位移都很小，使得各点的应变分 量和转角都远小于 1 。在建立平衡方程时， 可用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸。
2.4.1 平衡微分方程
（二）建立微分方程 2、沿x方向所有合力的平衡
37
2.4.1 平衡微分方程
（二）建立微分方程 3、沿y方向所有合力的平衡
38
2.4.1 平衡微分方程
（二）建立微分方程 4、所有合力关于任一点的力矩平衡
39
2.4.1 平衡微分方程
（二）建立微分方程 5、归纳后得平面问题的平衡微分方程

σz=μ（σx+σy）
32
2.4 平面问题的数学提法
（一）平面问题的特点 位移矢量：
应变分量：
应力分量：
33
2.4 平面问题的数学提法
（二）平面问题的基本方程及边界
条件
1、三类基本方程
（1）平衡微分方程-力的平衡方程 （2）几何方程-应变与位移的关系方程 （3）材料物理方程-应力与应变的关系
板厚t可以有小的变化 表面可以不平，中面必须为平面 板边作用力可以放松到对称中面分 布 所有变量如位移、应变、应力均理 解为沿板厚的平均值

27
2.3.2 平面应变问题
（一）构成平面应变问题的条件 1、几何条件

所研究结构是长柱体（理论上假设为无限 长细长结构），且横截面沿长度方向不变， 长度尺寸远大于横截面尺寸， Z轴平行于 柱体母线。 作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面 且沿纵向 Z方向均匀分布，两端面不受力， 限制Z向位移。
60
2.6 虚功原理
虚位移 虚应Biblioteka 体力 表面力61
2.6 虚功原理
虚功原理 对于处于平衡状态的变形体，外力在虚

2、边界条件
（1）位移边界条件 （2）外力边界条件

34
2.4.1 平衡微分方程
（一）建立平衡关系 1、沿x方向所有合力的平衡； 2、沿y方向所有合力的平衡； 3、所有合力关于任一点的力矩平衡。
35
2.4.1 平衡微分方程
（二）建立微分方程 1、设体力集度矢量
36
2、以位移分量作为基本未知量的位移法
求解。

由一些只包含位移分量的微分方程和边界条 件求出位移分量以后，再用几何方程求出应 变分量，从而用物理方程求出应力分量。
57
2.5 弹性力学的一般原理
圣维南原理 对于作用在物体边界上一小块表面上的
外力系可以用静力等效（主矢量、主矩 相同）并且作用于同一小块表面上的外 力系替换，这种替换造成的区别仅在离 该小块表面的近处是显著的，而在较远 处的影响可以忽略。
B'
A'
yx
v dx x
dy P' v P o u dx A'' A
u u dx x
v
x
44
2.4.2 几何方程
（二）建立几何方程 4、归纳以上，平面问题的几何方程为
45
2.4.3 材料物理方程
广义胡克定律
46
2.4.3 材料物理方程
（一）对于平面应力问题 1 、由于三个应力分量 σz=0 ， τzy=0 ， τzx=0
47
2.4.3 材料物理方程
（一）对于平面应力问题 2、若以应变表示应力则有
48
2.4.3 材料物理方程
（二）对于平面应变问题 1 、由于三个应变分量 εz=0 ， γzx=0 ， γzy=0
49
2.4.3 材料物理方程
（二）对于平面应变问题 2、若以应变表示应力有
50
54
2.4.5 平面问题的基本解法
8个独立方程 几何方程
55
2.4.5 平面问题的基本解法
8个独立方程 物理方程
56
2.4.5 平面问题的基本解法
1、以应力分量为基本未知量的应力法求
解

由一些只包含应力分量的微分方程和边界条 件求出应力分量以后，再用物理方程求出应 变分量，从而用几何方程求出位移分量。

所研究的结构是一很薄的等厚度薄板
2、载荷条件

作用于薄板上的载荷平行于板面且沿厚度 方向均匀分布，而在两板面上无外力作用
25
2.3.1 平面应力问题
（二）平面应力问题
σz=0 τzy=0
τzx=0
σx≠0
σy≠0
τxy=τyx
26
2.3.1 平面应力问题
（二）平面应力问题 广义平面应力问题
弹性力学 基本变量 确定不变
4
2.1 弹性力学中的基本假设
（二）变形体的描述 1、连续性假设：物质无空隙，可用连 续函数来描述。 物体被组成该物体的介质所充满，没 有任何空隙。其应力、应变和位移等 物理量都是连续变化的，可用连续函 数进行描述。
5
2.1 弹性力学中的基本假设
（二）变形体的描述 2、均匀性假设：物体内各个位置的物 质具有相同特性。 假设组成物体的材料在物体空间是均 匀分布。即物体内的各部分具有相同 的力学性能，如弹性常数杨氏模量E和 泊松比u等。
22
2.2 弹性力学中的基本量
（四）外力（载荷） 作用在物体上的外力分为体积力和表 面力。

1、体积力是指分布在物体体积内部的力， 记为 2、表面力是作用在物体表面的力。记为

23
2.3 两种平面问题
平面问题
平面应力问题
平面应变问题
24
2.3.1 平面应力问题
（一）构成平面应力问题的条件 1、几何条件
y u
v v dy y u dy y
B'' B
xy
B'
A'
yx
v dx x
dy P' v P o u dx A'' A
u u dx x
v
x
43
2.4.2 几何方程
（二）建立几何方程 3、定义夹角的变化
y u
v v dy y u dy y
B'' B
xy
（二）应变 3 、当物体上每个 点的位移都确定之 后，每个微团的变 形也就确定了，其 间的数学关系，即 几何方程为
15
2.2 弹性力学中的基本量
（二）应变 4、微团变形的核心 任意微线段的相对伸长，即任意方向 的线应变。 只有将任意方向线应变都表示的量才 能用来描写微团的变形。
1
第二章 弹性力学基础
2
第二章 弹性力学基础
2.1 弹性力学中的基本假设 2.2 弹性力学中的基本量
2.3 两种平面问题
2.4 弹性力学平面问题的数学提法
2.5 弹性力学的一般原理
2.6 虚功原理 2.7 势能原理
3
2.1 弹性力学中的基本假设
（一）什么是变形体？ 物体内任意两点之间可发生相对移动 （二）变形体的描述
6
2.1 弹性力学中的基本假设
（二）变形体的描述 3、各向同性假设：物体内同一位置的 物质在各个方向上具有相同特性。 假设组成物体的材料在物体空间内每 一点沿不同方向的力学性能相同，物 体的弹性常数与方向无关。
7
2.1 弹性力学中的基本假设
（二）变形体的描述 4、完全弹性（线性弹性）假设：物体 的变形与外力作用的关系是线性的， 外力去除后，物体可恢复原状。 假设物体受外部因素作用引起变形， 外部因素撤去后能完全恢复而没有任 何残余变形。同时假设材料服从胡克 定律，即应力与应变成正比。
16
2.2 弹性力学中的基本量