当q<0时，a、b（ 异号 ），且绝对值较大的因 数与p的符号（ 相同 ).
例2、把 y4-7y2-18 分 解因式
例3、把 x2-9xy+14y2 分解因式
把下列各式分解因式
1. x2-11x-12 2. x2+4x-12 3. x2-x-12 4. x2-5x-14 5. y2-11y+24
等式左边是两个一次二项式（相乘 ） 右边是（ 二次三项式 ）
这个过程将（ 积 ）的形式，转化成（ 和差 ） 的形式，进行的是（整式乘法 ）运算。
( (
(
x x
x
3)(x 3)(x
3)(x
4) 4)
4)
= = =
x2 7x 12 x2 x 12 x2 x 12
(x 3)(x 4) = x2 7x 12
课前复习：
1.什么是因式分解？
把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把 这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因 式。
因式分解的实质是（“和差化积”）与（ 整式乘法 ） 是“积化和差”的过程正好（相反 ）。
2.之前我们都学习了哪些分解因式的方法？
提取公因式法
公式法
计算下列各题：
(x 3)(x 4) x2 7x 12 (x 3)(x 4) x2 x 12 (x 3)(x 4) x2 x 12 (x 3)(x 4) x2 7x 12 问：你有什么快速计算类似多项式的方法吗？
利用十字交叉线来分解 系数，把二次三项式分 解因式的方法叫做十字
相乘法。
请大家记住公式
十字相乘法公式：
x2 (a b)x ab (x a)(x b)
定义：
利用十字交叉线来分解系数,把二次三 项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
十字相乘法进行因式分解的关键:
（1）列出常数项分解成两个因数的积的 各种可能情况；拆分常数项
是不是所有的二次三项式都可以用十 字相乘法进行因式分解呢？如果不是，那 满足什么条件的二次三项式可以用十字相 乘法进行因式分解呢？
将下列多项式因式分解
(1)x2+3x-4 (2)x2-3x-4 (3)x2+6xy-16y2 (4)x2-11xy+24y2 (5)x2y2-7xy-18
（7）（a+b）2-4(a+b)+3 （8） x4-3x3 -28x2
x2 px q (x a)(x b) = x2 (a b)x ab
等式左边是（ 二次三项式 ），二次项的系数是（1 ）
等式右边是两个一次二项式（相乘 ），整个等式从 左到右将（ 和差 ）的形式转化成（ 积 ）的形式，
进行的是（因式分解 ）。
x2 px q x2 (a b)x ab (x a)(x b)
(9) 2x2-7x+3 (10) 5x2+6xy-8y2
(6)x4+13x2+36
请结合上面的结论，运用十字相乘法解 下列一元二次方程：
1）. x2 7x 6 0 2）. x2 7x 12
思考2：
我们现在所研究的都是二次项系数是1的二 次三项式用十字相乘法进行因式分解，那 么当二次项的系数不是1，而是其他数字时 又该如何进行分解呢？
例如：3x 2 2x 1
1.十字相乘法分解因式的公式：
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
2.能用十字相乘法来分解因式的二次三项式的系数的 特点：常数项能分解成两个数的积，且这两个数的和 恰好等于一次项的系数。
3.在用十字相乘法分解因式时，因为常数项的 分解因数有多种情况，所以通常要经过多次的 尝试才能确定采用哪组分解来进行分解因式。
思考3：
x2 8x 12 (x __+__ 2)(x __+___6)
x2 4x 12 (x __+__ 6)( x __—__ 2)
x2 11x 12 (x __—__12)(x __+___1)
寻找的两数a和b的符号是如何确定的？
x2 px q (x a)(x b)
当q>0时，a、b（ 同号 ），且a、b的符号和p 的符号（ 相同 ）.
x2-5x+6 x2-5x-6 X2+5x-6 X2+5x+6
用十字相乘法分解下列因式
1、x4-13x2+36 2、x2+3xy-4y2 3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36
5、x4-2x3-48x2
例4、把 6x2-23x+10 分解因式 十字相乘法的要领是：“头尾
拓展创新
把下列各式分解因式 1、x2-4xy+4y2-6x+12y+8
2、(x2+2x)(x2+2x-11)+11 3、x n+1+3xn+2xn-1 4、(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+16
课外拓展:
若 A B 0 ，下面两个结论对吗？
（1）A和B同时都为0，即A=0且B=0；
（2）A和B中至少有一个为0，即A=0或B=0。
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
(x 3)(x 4) x2 7x 12 (x 3)x 4) x2 x 12 (x 3)(x 4) x2 x 12
(x 3)(x 4) x2 7x 12
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
分解，交叉相乘，求和凑中，观 察试验”。
1、8x2-22x+15
2、14a2-29a-15 3、4m2+7mn-36n2
4、10(y+1)2-29(y+1)+10
例5、把(x2+5x)2-2(x2+5x)-24 分解因式
例6、把 (x2+2x+3)(x2+2x-2)-6 分解因式
例7、把 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-3分解 因式
顺口溜：
x7x 6x
竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。
试一试：把x2+3x+2分解因式
分析∵ (+1) ×(+2)＝＋2
常数项
(+1)＋(+2)＝+3
x
1
∴x
2
一次项系数 十字交叉线
解：原式 (x 1)( x 2)
(1).因式分解竖直写; (2).交叉相乘验中项; (3).横向写出两因式;
（2）尝试其中的哪两个因数的和恰好等 于一次项系数； 验证一次项
例题1：分解因式
1. x2 7x 12 2. x2 4x 12 3. x2 8x 12 4. x2 11x 12
练一练：在下列各式的横线上填入“+”和“—”
号。x2 7x 12 (x __—__ 3)( x __—__ 4)
那么a和b如何确定呢？满足什么条件呢?
ab q a b p
它们的乘积等于常数项，它们的和等于一 次项系数。
试一试：把x2+3x+2分解因式
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
步骤：
x2 6x 7 (x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
x
7
x 1
②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式