即单位阶跃函数是单位斜坡函数的导数。 即单位阶跃函数是单位斜坡函数的导数。 对单位阶跃函数求导， 对单位阶跃函数求导，得
δ (t ) =
+∞ −∞
0(t ≠ 0) ∞(t = 0)
∫ δ (t)dt =1
单位斜坡函数的定义为
d[I (t )] =0 = δ (t ) dt
即单位脉冲函数是单位阶跃函数的导数。 即单位脉冲函数是单位阶跃函数的导数。
t −T
，此时e(t)=T。 。 →0 此时
所以可得以下结论： 所以可得以下结论：
足够大时， 当t足够大时，一阶系统跟踪单位斜坡信 足够大时 号输入的稳态误差为时间常数T； 号输入的稳态误差为时间常数 ；时间 常数T越小，该环节的稳态误差越小。 常数 越小，该环节的稳态误差越小。 越小
3.2.4 一阶系统的单位脉冲响应
3.2 一阶系统的时间响应
一阶系统的数学模型 一阶系统的单位阶跃响应 一阶系统的单位斜坡响应 一阶系统的单位脉冲响应 线性定常系统时间响应的性质
3.2.1 一阶系统的数学模型（1） 一阶系统的数学模型（ ）
定义
能用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。 能用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。 系统传递函数中分母多项式中s的最高幂数为 的系统称为一阶系统 系统传递函数中分母多项式中 的最高幂数为1的系统称为一阶系统。 的最高幂数为 的系统称为一阶系统。 一阶系统的典型形式是惯性环节。 一阶系统的典型形式是惯性环节。
查拉氏变换对照表得一阶系统的单位斜坡响应为
(t c(t) = t −T +Te ，≥ 0)
t −T
一阶系统的单位斜坡响应曲线
如图所示， 如图所示，该响应系统存在误差信号 e(t)，误差信号 ，
e(t) = r(t) −c(t) = t − t −T +Te
当t→∞时，e−T 时
t
(
t −T
) =T(1−e )
线性时变系统和非线性系统不具备该特征。 线性时变系统和非线性系统不具备该特征。
数学模型
一阶系统的数学模型为 a
传递函数
传递函数的一般形式为 T为时间常数。 为时间常数。 为时间常数
dc(t ) + bc(t ) = r(t ) dt
为放大系数， ，式中K为放大系数， 式中 为放大系数
(s) = C(s) = K G R(S) Ts +1
3.2.1 一阶系统的数学模型（2） 一阶系统的数学模型（ ）
一阶系统的单位阶跃响应曲线
结论
一阶惯性系统总是稳定的，无振荡。 一阶惯性系统总是稳定的，无振荡。 时间常数T可以定义为系统的响应时 时间常数 可以定义为系统的响应时 间达到稳态值的63.2％所需的时间。 ％所需的时间。 间达到稳态值的 反之， 反之，可以用实验的方法测出响应 曲线达到稳态值的63.2％高度时所需 ％ 曲线达到稳态值的 时间，即为惯性环节的时间常数T。 时间，即为惯性环节的时间常数 。 经过时间3T~4T，响应曲线已达到稳 ， 经过时间 态值的95 ％，可认为其调整 态值的 ％ ~98 ％，可认为其调整 过程已经完成， 过程已经完成，故一般取调整时间 ts=(3~4)T。 。 在t=0时，响应曲线的切线斜率为 。 时 响应曲线的切线斜率为1/T。 时间常数决定于系统参数， 时间常数决定于系统参数，与输入 信号无关。 信号无关。
G(s) =
C(s) 1 = R(S) Ts +1
1 s
所以， 所以，输出信号的拉氏变换为 查拉氏变换对照表得
1 1 1 1 ⋅ = − C(s) = G(s)R(S) = 1 Ts +1 s s s + T
t −T
c(t) =1−e
此即为一阶系统的单位阶跃响应。式中 称为系统的时间常数 具有时间量纲， 称为系统的时间常数， 此即为一阶系统的单位阶跃响应。式中T称为系统的时间常数，具有时间量纲，是 一阶系统的重要特征参数，表征了系统过渡过程的品质， 越小 系统响应越快。 越小， 一阶系统的重要特征参数，表征了系统过渡过程的品质，T越小，系统响应越快。
பைடு நூலகம்
(t ct (t ) = t −T +Te ，≥ 0)
t −T
一阶单位阶跃信号的时间响应为
cI (t ) =1−e
1 T
t −T
t −T
一阶单位脉冲信号的时间响应为
即单位阶跃响应是单位斜坡响 应的导数，单位脉冲响应是单 应的导数， 位阶跃响应的导数。 位阶跃响应的导数。
(t cδ (t ) = e ，≥ 0)
3.2.3 一阶系统的单位斜坡响应
因为输入信号是单位斜坡函数， 因为输入信号是单位斜坡函数，所以 R(s) = 又因为
G(s) =
C(s) 1 = R(S) Ts +1
1 s2
所以， 所以，输出信号的拉氏变换为
1 1 1 T T ⋅ 2= 2− + C(s) = G(s)R(S) = 1 Ts +1 s s s s+T
因为输入信号是单位脉冲信号， 因为输入信号是单位脉冲信号，所以 R(s) =1 又
G(s) =
C(s) 1 = R(S) Ts +1
所以
1 1 T C(s) = G(s)R(S) = = 1 Ts +1 s + T
对其进行拉氏反变换得一阶系统的单位脉冲响应为
(t c(t ) = e ，≥ 0)
1 T
t −T
其时间响应曲线如右图所示。 其时间响应曲线如右图所示。
3.2.5 线性定常系统时间响应的性质 （1） ）
单位阶跃函数的定义为
现在对单位斜坡函数求导， 现在对单位斜坡函数求导，得
0(t < 0) I (t ) = 1(t ≥ 0)
单位脉冲函数的定义为
d[t(t )] =1= I (t ) dt
0(t < 0) t(t ) = t(t ≥ 0)
3.2.5 线性定常系统时间响应的性质 （2） ）
现在分析三个典型输入信号的时间 响应。 响应。 一阶单位斜坡信号的时间响应为
显然， 显然，
t d[ct (t )] −T =1−e = cI (t ) dt t d[cI (t )] 1 −T = e = cδ (t ) dt T
3.2.5 线性定常系统时间响应的性质 （2） ）
由此可得出以下结论（线性定常系统重要特征）： 由此可得出以下结论（线性定常系统重要特征）：
系统对输入信号导数的响应，可通过把系统对输入信号响应求导得出； 系统对输入信号导数的响应，可通过把系统对输入信号响应求导得出；系统对输 入信号积分的响应，等于系统对原输入信号响应的积分， 入信号积分的响应，等于系统对原输入信号响应的积分，其积分常数由零初始条 件确定。 件确定。
系统框图
当K=1时，典型一阶系统的系统框图及化简形式如图所示。 时 典型一阶系统的系统框图及化简形式如图所示。
3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应
给一阶系统输入单位阶跃信号，根据一阶系统的传递函数，计算其拉氏反变换， 给一阶系统输入单位阶跃信号，根据一阶系统的传递函数，计算其拉氏反变换，求 出微分方程的解c(t)，即为一阶系统的单位阶跃响应。其实质就是根据已知条件（单 出微分方程的解 ，即为一阶系统的单位阶跃响应。其实质就是根据已知条件（ 位阶跃信号），利用传递函数和拉氏反变换，求出输出信号 。 位阶跃信号），利用传递函数和拉氏反变换，求出输出信号c(t)。 ），利用传递函数和拉氏反变换 因为输入信号是单位阶跃信号， 因为输入信号是单位阶跃信号，所以 R(s) = 又因为