插值程序题
1.对Runge函数RR(xx)=1/(1+25xx2)在区间[-1,1]做下列插值逼近，并和RR(xx)的图像进行比较，并对结果进行分析。

（1）等距节点xx ii=−1+iiℎ,ℎ=0.1,0≤ℎ≤20,20次netown插值多项式图像；（2）节点xx ii=cos�2ii+142ππ�,(i=0,1,2,…,20),20次Lagrange插值多项式的图像；（3）等距节点xx ii=−1+iiℎ,ℎ=0.1,0≤ℎ≤20,20次分段线性插值函数图像；（4）等距节点xx ii=−1+iiℎ,ℎ=0.1,0≤ℎ≤20,20次三次样条插值函数的图像。

解：（1）20次等距节点netown插值多项式和R(xx)的图像比较图如下所示（求值点之间的间隔为0.0001，以下相同）：
从图像可以看出，在插值区间中部netown插值多项式与原Runge函数符合得较好；但在插值区间的两端两者的差别很大（netown在区间[-1,-0.9]的最小值为-59.7819），此时的插值余项不满足要求，因此用等距20次netown插值多项式来对Runge函数在区间[-1,1]做插值逼近并不合适，会出现明显的Runge现象。

（2）20次非等距节点Lagrange插值多项式（切比雪夫多项式零点插值）和R(xx)
的图像比较图如上所示。

此时插值的节点并不等距，插值节点两边密，中间疏，虽然此时Lagrange插值多项式也是20次，但相比等距netown插值，非等距Lagrange插值曲线与原函数吻合得很好，没有出现明显的Runge现象，两端比较密的插值节点较好地抑制了Runge现象。

为了比较节点选取对高次插值结果的影响，用20次等距Lagrange插值也原函数在区间[-1,1]进行了插值，其与原函数图像比较如下：
其图像与（1）中netown插值几乎一样，因此对高次插值多项式，插值时适当的选取插值节点，能有效的抑制Runge现象。

（3）20次等距节点分段线性插值函数和R(xx)的图像比较图如下所示：
分段线性插值是这几种插值方法中最容易处理的一个，只需要将每个节点对应的函数值求出再将相邻的节点两两用直线相连即可。

此处采用了等距节点，从图中可以看出除了区间中部存在偏差之外，区间其他部分与原函数吻合得很好，没有出现Runge现象。

这是因为分段线性插值通过对插值区间分段的方法将插值函
数的次数有效降低，因此即使是等距节点分布，也能很好地避免Runge 现象的出现。

（4）20次等距节点三次样条插值函数和R (xx )的图像比较图如下所示：
从图中看出，三次样条插值的结果比分段线性插值更好，是四种插值种效果最好的，三次样条插值曲线和原曲线在整个插值区间都基本处于重合状态，几乎没有肉眼可见的偏差。

同样，由于三次样条插值的插值函数最高次数只有3，在等距节点下也没有产生Runge 现象。

2.对分段函数
f (x )=�ssii ss ππxx −1≤xx <0ccccssππxx 0≤xx <1/20 1/2<xx ≤1
在区间[1,1]中做下列插值逼近，和被插函数的图像进行比较，并进
行分析。

（1）等距节点xx ii =−1+ii ℎ,ℎ=0.1,0≤ℎ≤20,20次netown 插值多项式图像；
（2）节点xx ii =cos �2ii+142ππ�,(i =0,1,2,…,20),20次Lagrange 插值多
项式的图像； （3）等距节点xx ii =−1+ii ℎ,ℎ=0.1,0≤ℎ≤20,20次分段线性插值
函数图像；
（4）等距节点xx ii=−1+iiℎ,ℎ=0.1,0≤ℎ≤20,20次三次样条插值函数的图像。

解：（1）20次等距节点netown插值多项式和分段函数的图像比较图如下所示（求值点之间的间隔为0.0001，以下相同）：
从图中可以看出，与上述用netown函数对Runge函数进行插值相比，用netown 函数对此分段函数进行插值的效果更差，不仅在插值区间端点区域产生了强烈的震荡（Runge现象），在插值区间中部的非节点区域也存在小的上下震荡（插值余项正负间隔分布），且距离插值两端越近，上下震荡越厉害。

在非插值节点区域，几乎所有距离插值节点较远的点都存在较大偏差，对该分段函数进行20次netown等距插值的效果很不好。

（2）20次非等距节点Lagrange插值多项式（切比雪夫多项式零点插值）和原分段函数的图像比较图如上所示：
此时插值的节点并不等距，插值节点两边密，中间疏，此时Lagrange插值多项式也是20次，相比上述等距netown插值，虽然在插值区间中部Lagrange插值曲线也出现了小的上下震荡，但在区间两端较好地收敛到了原曲线上，没有出现明显的Runge现象。

同样地，两端比较密的插值节点较好地抑制了Runge现象。

这说明对分段函数进行高次插值时，适当的选取插值节点也能较好的抑制插值区间两端出现的Runge现象。

（3）20次等距节点分段线性插值函数和原分段函数图像对比图如下所示：
从图中可以看出，整体上分段线性插值与原函数吻合得较好，没有出现Runge 现象，但在函数间断点附近还是有所偏差。

与上述Runge函数分段线性插值类似，虽然是等距节点分布，但分段线性插值通过对插值区间分段的方法将插值函数的次数有效降低，能很好地避免Runge现象的出现。

（4）20次等距节点三次样条插值函数和原分段函数的图像比较图如下所示：
从图中可以看出，此时三次样条插值的结果没有分段线性插值那么好，在区间两端也没有出现Runge现象，但在函数的间断点附近也出现轻微的上下震荡现象，在远离间断点的其他区域与原函数符合得很好。

同样，这也是由于三次样条插值的插值函数最高次数只有3，因此在等距节点下进行插值也没有产生Runge现象。

对以上用这四种插值方法对Runge函数和分段函数进行插值的结果进行分析可以得到以下结论：
（1）当插值多项式次数太高时，使用等距节点插值，会出现严重的Runge 现象。

如上述使用netown函数对Runge函数和分段函数进行等距20次插值，在插值区间两端都出现了剧烈的上下震荡，与原函数差别很大。

（2）在插值多项式次数很高时，若对插值节点进行适当选取，而不是使用等距节点，可以抑制Runge现象。

如上述，当在20次Lagrange插值中，使用切比雪夫多项式零点作为插值节点（节点两边密，中间疏）时，有效地消除了Runge 现象。

（3）降低插值多项式的次数能有效避免Runge现象。

本实验中，分段线性插值法（各区间上均为1次）和三次样条插值法（最高次数为3）都取得了较为理想的插值逼近效果，没有出现Runge现象，且在整个插值区间都与原函数的图像吻合的很好。

（4）与连续函数相比，存在不连续点的分段函数的插值逼近误差更大，且更加不稳定。

本实验中，对连续的Runge函数进行插值逼近时，除了等距节点的高次Newton多项式出现严重Runge现象，其余三种方法基本都收敛到了原曲线上，取得了不错的插值逼近效果；而对分段函数进行插值逼近时，除了等距节点的高次Newton多项式的逼近效果非常差外，其余三种方法虽然没有出现Runge 现象，但在不连续点（x=0）的附近区域都存在一定的误差，整体逼近效果比对连续Runge函数的插值逼近要差。

综上，在实际运用中，为了取得较好的插值逼近效果，应尽量保证以下几点：不采用次数过高的插值多项式；适当选取插值节点；避免函数值突变，若不得已对存在不连续点的函数进行插值逼近，可以尝试分段插值，并将不连续点都处理到子区间的端点上，从而原函数在各子区间内分段连续，以便提高插值逼近的效果。