设T : X
军事电子对抗与武器的智能化；计算机分 类与识别；音乐与语言的人工合成；医学 成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机 械的故障诊断等方面；例如，在数学方面， 它已用于数值分析、构造快速数值方法、 曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。 在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、 传递等。在图象处理方面的图象压缩、分 类、识别与诊断，去污等。在医学成像方 面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间， 提高分辨率等。
2
2
3
V,ej
2
v2
2
j 1
3 2
v1
1 2
v2
3 2
v1
1 2
v2
3 2
[
v1
2
v2
2]
3 2
V
定义、定理及证明
1. (巴拿赫)Banach空间与Hibert（西耳伯特） 空间
由于F(0) = 0,故 =0
2. 线性算子与同构
我们只考虑可分的Hilbert空间。
1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的 小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的 同样方法及其多尺度分析之后，小波分析才开始 蓬勃发展起来，其中比利时女数学家 I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作 用。它与Fourier变换、窗口Fourier变换（Gabor 变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换， 因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平 移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析 （Multiscale Analysis），解决了Fourier变换 不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为 “数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑 式的进展。
1987年,Mallat统一了多分辨率分析和小波 变换，给出了快速算法。
1988年，Daubecies在NSF的小波专题研讨 会进行了讲座
J.Morlet，地震信号分析。 S.Mallat，二进小波用于图像的边缘检
测、图像压缩和重构 Farge，连续小波用于涡流研究 Wickerhauser，小波包用于图像压缩。 Frisch噪声的未知瞬态信号。 Dutilleux语音信号处理 H.Kim时频分析 Beykin正交小波用于算子和微分算子的
第一章准备知识
距离空间
设X是任一集合，x, y X ,都对应一个实数(x, y),而且满足 1.非负性：(x, y) 0，当且仅当x y时，(x, y) 0. 2.对称性：(x, y) ( y, x) 3.三角不等式：x, y, z X ,有(x, y) (x, z) (z, y) 则称(x, y)为x和y之间的距离，X为以(x, y)为距离的距离空间。
什么叫张成span？
设ek (t)为一个函数序列，X表示为ek (t)所有可能的线性组合构成的集合，即
X { akek (t);t, ak R, k Z}称X为由序列ek (t)张成的线性空间：
k
X span{ek }
即g(t) X ,有g(t) akek (t)
k
什么叫基底？
如果ek (t)是线性无关的，使得上 式系数ak是唯一的，称 {ek (t)}kZ 为空间的基底
小波变换如同一台可变焦距的数学显微 镜，改变各种焦距便可探测到被处理信 号中所隐含的奇异点并识别出它的性质， 或分析出非平衡信号所包含的各种成分， 从而可有效地探测并诊断出精密复杂设 备中的疑难故障，是该领域具有明显应 用前景的前沿课题
现在，对于其性质随实践是稳定不变的信号， 处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在 实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而 特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。 事实上小波分析的应用领域十分广泛， 它包括：数学领域的许多学科；信号分析、 图象处理；量子力学、理论物理、模式识别、 语音识别、地震勘探、流体力学、电磁场、 CT成象、机器视觉、机械故障诊断、分形、 数值计算。
说明
Z表示整数集合 R表示实数集合 C表示复数集合 Z ＋表示正整数集合 R n表示n为欧氏空间
内积 x, y x(t) y(t)dt
R
常用的距离空间
1.n维欧氏空间Rn
n维向量x (x1, x2,, xn )的全体所组成的集合.
n
2
x, y Rn ,定义距离(x, y) [ (xi yi ) ]1/2
1822年Fourier变换,在频域的定位最准确，无任 何时域定位能力。
函数，时域定位完全准确，频域无任何定位能 力
1946年Gabor变换，STFT，窗函数的大小和形状与 时间和频率无关而保持固定不变。不构成正交基。
1982年Burt提出金字塔式图像压缩编码，子带编 码(subband coding),多采样率滤波器组 (multirate sampling filter bank).
小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧 密地结合在一起地。现在，它已经在科技信 息产业领域取得了令人瞩目的成就。 电子 信息技术是六大高新技术中重要的一个领域， 它的重要方面是图象和信号处理。现今，信 号处理已经成为当代科学技术工作的重要部 分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊 断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精 确地重构（或恢复）。从数学地角度来看， 信号与图象处理可以统一看作是信号处理 （图象可以看作是二维信号），在小波分析 地许多分析的许多应用中，都可以归结为信 号处理问题。
(1)小波分析用于信号与图象压缩是小波分 析应用的一个重要方面。它的特点是压缩 比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与 图象的特征不变，且在传递中可以抗干扰。 基于小波分析的压缩方法很多，比较成功 的有小波包最好基方法，小波域纹理模型 方法，小波变换零树压缩，小波变换向量 压缩等。
(2)小波在信号分析中的应用也十分广泛。 它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、 信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信 号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。
函数序列 k (t)是相关的，空间X中的元素也能够展开为x(t) x(t), k (t) k (t) n1
k (t)称为框架。
H为一个Hilbert空间，{ j (t)}jZ 为H中的一个函数序列，f H , 0 A B ,使得下述不等式成立：
A f 2
f , j
2
B
f
2
jZ
什么叫正交？
x, y为内积空间 X中的两个元素，若 x, y 0, 称x与y正交，记作 xy
什么叫标准正交系？
内积空间中元素列{en}满足：
em , en
0 1
m m
nn，则称{en
}为空间X中的标准正交系
什么叫完全的标准正交系？
内积空间 X中的标准正交系{en}，x X ,n Z,若xen，必有x 0.
称{ j (t)}jZ 为一个框架，称A, B分别框架的上、下界。
如果A B, 称此框架为紧框架，则
f , j
2
A
f
2
jZ
由此式可推得f A1 f , j j jZ
H C 2 ,即二维向量空间，取e1 (0,1),e2 (
31 2 , 2),e3 (
3 , 1) 22
V (v1, v2 ) C 2 , 有
(3)在工程技术等方面的应用。包括计算 机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、 远程宇宙的研究与生物医学方面
参考资料
1. I. Daubechies, Ten lectures on wavelets, Siam, Philadelphia, PA 1992. 2. S. Mallat, A wavelet tour to signal processing, Academic Press, Boston, 1998. 3. Y. Meyer, 小波与算子，第一卷， 世界图书出版社，1992. 4. 龙瑞麟，高维小波分析，世界图书出版社，1995。 5. 关肇直,张慕庆,冯德兴, 线性泛函分析入门， 上海科学技术出版社，1979.
1910年Harr提出规范正交基。
1981年Stormberg对Harr系进行改进，证明了小波 函数的存在。
1984年,Morlet提出了连续小波
1985年,Meyer,Grossmann,Daubecies提出 离散的小波基
1986年,Meyer证明了不可能存在时域频域 同时具有正则性的正交小波基，证明了小 波的自正交性。
小波变换教案
绪论
小波变换的历史：
小波分析是当前数学中一个迅速发展的新 领域，它同时具有理论深刻和应用十分广 泛的双重意义。
小波变换的概念是由法国从事石油信号处 理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的， 通过物理的直观和信号处理的实际需要经 验的建立了反演公式，当时未能得到数学 家的认可。
i 1
定义距离(x, y) [ (xi yi )2 ]1/2 x, y l 2 i 1
函数空间概念
线性空间
设X是任一非空集合，在 X中定义了线性运算（元 素的加法和元素的数乘 运算）， 并且满足加法或数乘的 结合律及分配律。 对于线性空间的任一向 量，用范数 x 来定义其长度。
线性赋范空间
设X为一线性空间，x X , 存在非负实数 x 与之对应，满足
1. x 0,当且仅当x 0时，x 0 2. R, x x 3.x, y X , x y x y 距离定义为(x, y) y x
Banach (巴拿赫)空间
设空间X中的任一序列{xi}iZ 都有极限，并且此极限都在X中，该空间为完备的。 完备的线性赋范空间称为Banach空间。
简化
正如1807年法国的热学工程师 J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成 三角函数的无穷级数的创新概念未能得到 著名数学家grange，place 以及A.M.Legendre的认可一样。幸运的是， 早在七十年代，A.Calderon表示定理的发 现、Hardy空间的原子分解和无条件基的 深入研究为小波变换的诞生做了理论上的 准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史 上非常类似于现在的小波基；