运用韦达定理证明卡尔丹公式之探讨
范盛金
在数学史上，解三次代数方程是较有名的问题。
十六世纪意大利学者卡尔丹（Cardano）提出了三次方程X3＋pX＋q=0的求根公式，在这个公式中，卡尔丹是第一个把负数写在二次根号内的数学家，并由此引进了虚数的概念，后来经过许多数学家的努力发展成了复数的理论。
下面运用复数域中的高次方程韦达定理证明卡尔丹公式，高中学生很容易掌握这种方法。
卡尔丹公式的证明：
这就是伟大的卡尔丹公式...没明白
还有啊ax3+bx2+cx+d=0 怎么能转化成x3+px+q=0 呢？？好像要除以一个y=什么什么+什么什么/3
...天啊.
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网友评论：
1网友:芝
生
2007年10月07日星期日07:39 | 回复
注意：ω不要放在根号里面。
2网友:芝
生
2007年10月07日星期日07:53 | 回复
运用韦达定理证明卡尔丹公式之探讨范盛金卡尔丹公式的证明：一元三
次方程(1) X3＋pX＋q=0 (p、q∈R) 当P=0时，易推导出(1)的求根公式如
下：(2) X3＋q=0 → X3＋(3√q)3=0 → (X＋3√q)(X2－3√q＋3√q2)=0，解之，
得(3) X1=3√(－q)；X2=3√(－q)(－1＋√3i)/2；X3=3√(－q)(－1－√3i)/2，令
ω=(－1＋3√3i)/2；则ω2=(－1－3√3i)/2，故(2)可写成(4) X1=3√Y；
X2=3√Yω；X3=3√Yω2，其中Y=－q。
(3)就是p=0时(1)的求根公式。
为
了研究方便起见，当p≠0时，根据(3)的情形，则可假设(1)的根具有形式
X1=3√Y1＋3√Y2；X2=3√Y1ω＋3√Y2ω2；X3=3√Y1ω2＋3√Y2ω。
显然，(4)
的表达式把较复杂的的问题变成了较简单的问题来解决。
现只要求出(4)中
Y1与Y2的p、q表达式，则(1)的公式即得到证明。
根椐韦达定理，有(5)
0=－(X1＋X2＋X3)；p=X1X2＋X1X3＋X2X3；q=－X1(X2X3)，为了简化
运算过程，注意ω＋ω2=－1，ω3=1。
由(4)、(5)有(6)p=－3(3√(Y1Y2))；
q=－(Y1＋Y2) → Y1＋Y2=－q；Y1Y2=－(p/3)3，由(6)得方程Y2＋qY－
(p/3)3=0，解之，得Y1，2=－(q/2)±((q/2)2＋√(p/3)3)。
综上情况，就是一
元三次方程X3＋pX＋q=0
3网友:芝
生
2007年10月07日星期日07:58 | 回复
注意：3√Y1中的3是根指数。
4网友:芝
生
2007年10月07日星期日08:03 | 回复
运用韦达定理证明卡尔丹公式之探讨范盛金卡尔丹公式的证明：一元三
次方程(1) X＾3＋pX＋q=0 (p、q∈R) 当P=0时，易推导出（1）的求根公
式如下：X＾3＋q=0，→ X＾3＋(q＾(1/3))＾3=0，→ (X＋q＾(1/3))(X＾2
－q＾(1/3)＋q＾(2/3))=0，解之，得(2) X1= (－q)＾(1/3)；X2= (－q)＾
(1/3)(－1＋3＾(1/2)*i)/2；X3=(－q)＾(1/3)(－1－3＾(1/2)*i)/2，令ω==(－1
＋3＾(1/2)*i)/2；则ω＾2=(－1－3＾(1/2)*i)/2，故(2)可写成(3) X1=Y＾
(1/3)；X2= Y＾(1/3)*ω；X3= Y＾(1/3)*ω＾2，其中Y=－q。
(3)就是p=0时(1)的求根公式。
为了研究方便起见，当p≠0时，根据(3)的情形，则可假设(1)的根具有形式(4) X1=Y1＾(1/3)＋Y2＾(1/3)；X2= Y1＾(1/3)ω＋Y2＾(1/3)*ω2；X3= Y1＾(1/3)*ω2＋Y2＾(1/3)*ω。
显然，(4)的表达式把较复杂的的问题变成了较简单的问题来解决。
现只要求出(4)中Y1 与Y2的p、q 表达式，则(1)的公式即得到证明。
根椐韦达定理，有(5) 0=－(X1＋X2＋X3)；p=X1*X2＋X1*X3＋X2*X3；q=－X1* (X2*X3)，为了简化运算过程，注意ω＋ω＾2=－1，ω＾3=1。
由(4)、(5)有(6) p=－3* (Y1*Y2)＾(1/3)；q=－(Y1＋Y2)，→ Y1＋Y2
5网友:芝
生2007年10月07日星期日08:07 | 回复
q=－(Y1＋Y2)，→ Y1＋Y2=－q；Y1Y2=－(p/3)＾3，由(6)得方程Y＾2＋qY－(p/3)＾3=0，解之，得Y1，2=－(q/2)±((q/2)＾2＋(p/3)＾3)＾1/2)。
综上情况，就是一元三次方程X＾3＋pX＋q=0 (p、q∈R) 根的公式：X1=Y1＾(1/3)＋Y2＾(1/3)；X2=Y1＾(1/3)*ω＋Y2＾(1/3)*ω＾2；X3=Y1＾(1/3)*ω＾2＋Y2＾(1/3)*ω，其中ω=(－1＋3＾1/2)i)/2；Y1，2=－(q/2)±((q/2)＾2＋(p/3)＾3)＾1/2)。
这就是著名的卡尔丹公式。
——摘自《教学月刊》（中学理科版），1990年第3期（国内统一刊号：CN33-1046），范盛金，运用韦达定理证明卡尔丹公式之探讨。