圆内接四边形的性质与判定定理习题及答案
2.处理过程：让学生独立完成这两道自测题
成两组,每一组推荐一名同学说出解题思路和答案.
例1 (2011·课标全国卷)如图3,D,E分别为△ABC 的边AB,AC上的点,且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于方程x2-14x+mn=0的两个根.
(1)证明:C,B,D,E四点共圆;
(2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的半径. 1.选题立意:本题考查三角形相似、四点共圆的基本知识与方法,考查推理论证能力及运算求解能力.
2.处理过程：第(1)小题是证明四点共圆问题，那么要证四点共圆,我们有那些方法呢?通过提问让学生在大脑中搜索相关知识,寻找最佳解题方案这样问题可以转化为证明Rt△ADE与
似,从而利用本节的推论来证明四点共圆
题是计算问题，关键是引导学生如何确定圆心的位置.根据圆的性质可知,圆心即为该圆弦的中垂线的交点，问题就转化为在矩形AFHG
半径了.
3.老师点评：证明四点共圆主要是利用圆内接四
能力锤炼:
能说的让学生说,学生能做的让学生做第(2)小题实际上是证明角相等问题,请一个学生用分析法来寻求证明思路.当学生“找路”有困难时，及时正确引导，同时注意引导方式3.老师点评：解答平面几何问题时不仅要用到几何定理，而且还要用到各种不同的推理形式，推理策略，有时还要使用“添加辅助线”之类的技巧性较高的方法.在几何学习中，除了运用逻辑推理外，还要应用观察、比较、类比、直觉、猜想、归纳、概括等合情推理.
如图6,已知△ABC 中,AB=AC,D 是△ABC 外接圆劣弧AC ⌒
上的点(不与A,C 重合),延长BD 到E. (1)求证:AD 的延长线平分∠CDE;
(2)若∠BAC=30°,△ABC 中
BC 边上的高为2+ 3 ,
求△ABC 外接圆的面积.
设计意图:检验所学习的知识，从而熟练掌握本节的重点，形成相应的数学能力.
1. 如图7,在Rt △ABC 中,∠BCA=90°,以BC 为直径的⊙O 交AB 于E 点,D 为AC 的中点,连结BD 交⊙O 于F 点.求证:
BC BE = CF EF
. 2. 如图8,AB 为⊙O 的弦,CD 切⊙O 于P,AC ⊥CD 于C,BD ⊥DC 于D,PQ ⊥AB 于Q,求证:PQ 2
=AC ·BD.
3. 如图9,已知AP 是⊙O 的切线,P 为切点,AC 是⊙O 的割线,与⊙O 交于B,C 两点,圆心O 在∠PAC 的内部,点M 是BC 的中点.
(1)证明:A,P,O,M 四点共圆; (2)求∠OAM+∠APM 的大小.
4.E,EG 平分∠E,且与BC 、AD F
5.如图11,已知PA 、PB 是圆O 的切线分别是切点,C 为圆O 上不与A 重合的另一点,若∠ 一、 选择题
1. 下列关于圆内接四边形叙述正确的有
2. 3. 4.
C.12a
D.13a
5.圆内接四边形ABCD 中，BA 与CD 的延长线交于点P,AC 与BD 交于点E,则图中相似三角形有
A.5对
B.4对
C.3对
D.2对
6.如图，已知圆内接四边形ABCD 的边长为2,6,4AB BC CD DA ====，则四边形ABCD 面积为
A.
163 B.8 C.323
D.
D
T6 T7 T12
7.如图，在以BC 为直径的半圆上任取一点P ,过弧BP 的中点A 作AD BC ⊥于D.连接BP 交AD 于点E,交AC 于点F,则:BE EF =
A.1:1
B.1:2
C.2:1
D.以上结论都不对
8.直线370x y +-=与20kx y --=与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k = B.3 C.-6 D.6
二、填空题
9.圆内接四边形ABCD 中，cos cos cos cos A B C D +++= . 10.三角形三边长为5,12,13,则它的外接圆圆心到顶点的距离为 . 11.圆内接四边形ABCD 中，::1:2:3A B C ∠∠∠=，则D ∠= .
12.如图，AB 为半圆O 的直径，C 、D 为半圆上的两点，20BAC ∠=
，则ADC ∠= .
三、解答题
13.如图，锐角三角形ABC 中，60A ∠=
，BC 为圆O 的直径，⊙O 交AB 、AC 于D 、E ，求证：
2BC DE =.
D
B
O
C
E
A
14.求证：在圆内接四边形ABCD 中，AC BD AD BC AB CD ⋅=⋅+⋅.
15.在等边三角形ABC 外取一点P ,若P A P B P C =+
，求证：P 、A 、B 、C 四点共圆.
16.如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，M 为CD 中点，N 为AB 中点，AC BD ⊥于点E ，连接ON 、ME ，并延长ME 交AB 于点F.求证：MF AB ⊥.
A
B
C
17.已知：如图所示，10,8,AB cm BC cm ==CD 平分ACB ∠. (1)
(2)18.求证：19.E,交BC 于点F,(1)求⊙(2)设∠
圆内接四边形的性质与判定定理
(参考答案)
一、 选择题
1-5 BBCAB 6-8 DAB 二、填空题
9. 0 10.132
11.90 12.110
三、解答题
13.法一：302ABE ABE AB AE ∠=⇒∆=
在Rt 中，
1
2
A D A E D E A D E
A C
B A
C A B B C ∆∆⇒===∽ 法二：连接BE, 30ABE DE
∠=⇒ 的度数为60
60DOE ⇒∠=
即ODE ∆为正∆ OD DE ⇒=
14.在AC 上取点E,使1,23ADE ∠=∠∠=∠又
A E
B C A D E B D C A E B D A D B C
A D
B D
⇒∆
∆⇒=⇒⋅=⋅∽ ①
1A D E A D B C D E A B D A C D A B D E C D
∠=∠⇒∠=∠∠=∠∆∆又得∽
AB BD
BD EC AB CD EC CD
⇒
=⋅=⋅即 ② ①+②即可
15.延长PC 至D,作CAD BAP ∠=∠，并取AD=AP ，
则A D P A B P A B P A C D ∆≅∆⇒∠=∠⇒P 、
A 、
B 、
C 四点共圆
16.,DE EC DM MC EM DM ⊥=⇒=
M D E D E M ⇒∠
=∠ 90EAF AEF MDE AEF DEM MEC ⇒∠+∠=∠+∠∠=∠+∠=
17.(1)6,52AC BD ==
(2)49ACB ADB ABCD S S S ∆∆=+=四边形
18.法一：连结EF,,9090180DE AB DF AC AED AFD ⊥⊥⇒∠+∠=+=
⇒A 、E 、D 、F 四点共圆DEF DAF BEF C ⇒∠=∠⇒∠+∠
90180
B E D D E F C
D A F C =∠+∠+∠=+∠+∠=
321B
E
A
D
C
P
B
A
C
法二： A 、E 、D 、F 四点共圆DEF DAF ⇒∠=∠
9090A E F D E F D A F C
⇒∠
=-∠=-∠=∠
19.(1)1015
6104
OE AO R R AEO ADC R CD AC -∆∆⇒
=⇒=⇒=∽ (2)90EFB EGC βα∠=∠⇒+=。