问：怎样求一般正态分布的概率？
对一般的正态分布 ：X ~ N ( , 2)
其分布函数 F( x)
1
e d t x
(t )2 2 2
2
作变量代换s
t
F(x)
1 2
x
s2
e 2ds
x
即 X ~ N ( , 2) 则 X ~ N ( 0 ,1)
P{a
X
b}
F (b)
222 0.3830
3) 0.6826 4) 0.4981
0.02
-10
-5
a
5
b
x
例1 有一批晶体管，已知每只的使用寿命 X 为 连续型随机变量，其概率密度函数为
f
(
x)
c x2
,
0,
x 1000 其它
( c 为常数)
(1) 求常数 c
(2) 已知一只收音机上装有3只这样的晶体管，
每只晶体管能否正常工作相互独立，求在
使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.
(3) P(X>1.76)= 1 – P(X≤1.76)= 1 – Φ(1.76)
=1 – 0.9608 =0.0392 (4) P(X< – 0.78)= Φ(- 0.78) =1-Φ(0.78)
=1 – 0.7823 =0.2177 (5) P(|X|<1.55)= 2Φ(1.55) – 1 (6) P(|X|>1.55)= 1 – P(|X|<1.55)
即： P( X a) 0, a为任一指定值
事实上 { X a} {a x X a}
x 0
0 P{ X a} P{a x X a} aax f ( x)d x
0
P{ X
a}
lim
x0
aa
x
f
( x)dx
lim [F(a) F(a x)] 0 x0
P{X a} 0
1
e
( x)2 2 2
f (x) 的性质： 2
1) 图形关于直线 x = 对称： f ( + x) = f ( - x)
1
2) 在 x = 时, f (x) 取得最大值 2 x 离 越远, f (x) 越小，这表明，对同样长度
的区间，X 落在这个区间的概率越小。 在 x = ± 时, 曲线 y = f (x) 在对应的点处有拐点
( x )2 2 2
2
大
小 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
-6 -5 -4 -3 -2 -1
若 1< 2 则
11
2 1 2 2
小 者取 附近值的概率更大.
P{X } F() 1 F() P(X )
1 2
0.3 0.25
0.2 0.15
0.1 0.05
-6 -5 -4 -3 -2 -1
F ( x) f ( x)
lim F ( x x) F ( x)
x0
x
lim P( x X x x)
x0
x
若不计高阶无穷小，有：
P( x X x x) f ( x) x
上式表示X 落在小区间 ( x, x x] 内取值的概率 近似等于 f ( x) x
需要指出的是: 连续型r.v取任一指定值的概率为0.
的只数服从二项分布：
Y
~
B
3,
1 3
P {Y
1}
C31
1 3
2 3
2
4 9
二、常见的连续型随机变量的分布
1、 均匀分布
若 X 的概率密度为 f (x)，则称 X 服从区间
( a , b)上的均匀分布
f ( x)
其中 f(
x)
b
1
a
,
a xb
0,
其它
a
b
x
X 的分布 0,
函数为：
所求概率为：
P{10 X 15} P{25 X 30}
15 1 dx 30 1 dx 1
10 30
25 30 3
f
(
x)
1 30
,
0 x 30
0, 其它
即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.
2、 指数分布
若 X 的概率密度为
f
(
x)
e x
,
0,
x0 x0
> 0 为常数 则称 X 服从 参数为 的指数分布
也说明概率为1 (零) 的事件未必发生 (不发生)
由此得，对连续型 r.v X,有
P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b)
f ( x) P{ X b} P{ X b} F (b)
P{X a} P{X a}1 F(a)
0.08
0.06
0.04
F (a)
b
a
P{X a} 1 F(a)
1
a
例5 X ~ N ( 1 ,4) 计算：
1) P( X 3.5) 2) P(0 X 2)
3) P(1 X 3) 4) P( X 1.5)
1) P(X<3.5)= P( X 1 3.51) 0.75 0.8944
22
2) P(0<X<2)= P(01 X 1 21) 0.5 0.5
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
离散型随机变量
连续型随机变量
1. 连续型r.v及其密度函数的定义
设随机变量 X 的分布函数为F(x),如果存在非 负可积函数f(x) ,使得对任意实数x, 有
x
F( x) f (t)dt
则称 X为连续型r.v, 称 f(x)为 X 的概率密度函数， 简称为概率密度或密度函数.
F(x)
x b
a a
,
1
x a, a x b,
xb
F( x)
a
bx
(c,d) (a,b)
P{c X d}
d
cb
1
dx a
d b
c a
即X 的取值在(a,b)内任何长为d–c的子区间
的概率与子区间的位置无关, 只与其长度成正比.
例2 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班 车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此 站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的 均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率.
解 (1)
c
f ( x)d x 1000 x 2 d x 1
有 c = 1000
(2) 设事件 A 表示一只晶体管的寿命小于
1500小时 P( A) P{0 X 1500}
f
(x)
c x2
,
x 1000
1500 1000
1000 x2
d
x
1 3
0, 其它
在使用的最初1500小时，三只晶体管中损坏
解： 以7:00为起点0，以分为单位
依题意， X ～ U ( 0, 30 )
f
(
x)
1 30
,
0 x 30
0 , 其他
从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00， 7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，
为使候车时间少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站.
f (x)
•
•
a
bx
f (x)
o
x
要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a 的高度，并不反映X取值的概率. 但是，这 个高度越大，则X取a附近的值的概率就越 大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反 映了概率集中在该点附近的程度.
x
F ( x) f (t)d t x
4）若 f ( x ) 在 x 点连续，则有
曲线 y = f (x) 以x轴为渐近线
特点:两头小，中间大，左右对称.
正态分布 N(的,图2 ) 形特点
决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭
程度.
即固定 , 对于不同的 , 对应的 f (x)的
形状不变化，只是位置不同
固定 ，对于不同的 ，f ( x) 的形状不同.
f (x)
1
e
一种重要的正态分布：N (0,1) — 标准正态分布
(x)
1
x2
e2
2
x
(x) 是偶函数，其图形关于纵轴对称
它的分布函数记为 (x)，其值有专门的表可查
( x) 1
t2 x
e 2 dt
2
x
0.4
(0) 0.5
0.3
P(X≤0)
0.2
0.1
-3 -2 -1
123
( x) 1 ( x)
2. 概率密度函数的性质
1 ) f (x) 0
2 ) f (x)dx 1
常利用这两条性质是判定
一个函数 f(x)是否为某 r.vX的概率密度或求 其中的未知参数.
f (x)面积为1来自ox3) P{a X b} F(b) F(a)
b
a
f ( x)d x f ( x)d x
b
a f ( x)d x
X 的分布函数为
F
(
x)
1
0, ex
,
x0 x0
f ( x)
F( x)
0
x
0x
例3 设某电子元件的寿命 X（以小时记）服从参数为
= 0.002 的指数分布,试求该元件至少使用500小时
的概率。 解
f
(
x
)
e
x
,
x0
0, x 0
P{X 500}