定理1(罗尔定理) 如果函数了(X)满足下列条件： (1) 在［a,可上连续； ■ (2) 在(a,幻内可导； ⑶ f(a)= f(b)，
那么至少存在一点g E (a, b)，使得 广(8) = 0.
注：定理条件只是充分的，罗尔定理的三个假设条件缺一不可.
第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理
罗尔定理
第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理——问题的引入
了(b)一仙)=/(&)(")
件 * 广(&)=
b-a
路程函数、二./(,)
北京某过街天桥上的公式
第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理
问题的引入
2丝二 2。
2
罗尔定理
拉格朗日中值定理
>
微分中值定理应用
1
第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理——主要内容
(2) 在[x, x + Ax] Q [a, <&](△* > 0)或[x + Ax, x] Q [a,b]^^x V 0) 上应用拉格朗日中值定理，有 /(% + Ax) — /(%) = f{x + OAx) - Ax, 0 V。V 1. 上式等价 于
BAy = f'(x + OAx) • Ax, 0 < 0 < 1.
例3证明方程工5 + x — 1 = 0只有惟一实根.
例4设f(x)在［GM］上连续，在(GM)内二阶可导，又若f3)的 图形与联结两点的弦交于点C(cJ(c)) {a<c <幻.证明在(GM)内 至少存在一点本，使得广'修)=0.
第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理——微分中值定理应用
拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理.
第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理——拉格朗日中值定理
例1设产3）在（QM）内可导，且广3）恒为零，证明f 3）在 （。,幻内恒为常数.
X
例2证明不等式+ x>0.
y=x y = ln(l + x)
y = T-— 1+x
-^X
第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理——微分中值定理应用
0
第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
拉格朗日中值定理
% 您）=
罗尔定理
定理2(拉格朗日中值定理) 如果函
数了3)满足下列条件：
(1) 在［a,可上连续；
(2) 在(a,幻内可导； 那么至少存在一点g C (a,幻，使得
x
第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理
*拉格朗日中值定理的其他形式 (1) 拉格朗日中值公式等价于 f(b) - f(a)=广任)(b 一 a), a V g < b.
-- 第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理——拉格朗日中值定理
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注：』y = f'(% + 94%)・心 0 V。v 1,事 有限增量公式 函数微分的定义
Ay = dy + o(Ax)=广(%)▲% + o(Zlx) « fr(x)Ax. 公式=广（％ +。血）-血给出了自变量取得有限增量血时, 函 数增量的准确表达式.
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第29讲罗尔定理与拉格朗日中值定理
「一位驾驶员在某高速公路出口处
曲
领至U 一张超速行驶罚单.理由是从七点进 入
高速到九点到达出口行驶了240km , 而该路段的限速为110km/h.试问该 与
罚单是否合理？
平均速度 v 二 = 12() (km h )
问题：是否存在某一时刻的瞬时速度恰 好是平均速度？