极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归）笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链：111ln2e e2lnb ab a aa bbab ab b a b a baba b b b a aa---⎛⎫-+⎛⎫<<<<<<⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭，不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题．对数平均不等式：对于正数a，b，且a b≠，定义ln lna ba b--为a，b的对数平均值，且ln ln2a b a ba b-+<<-，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为()()(),,,G a b L a b A a b<<．先给出对数平均不等式的多种证法．证法1（对称化构造）设0ln lna bRa b-=>-，则ln lnk a k b a b-=-，ln lnk a a k b b-=-，构造函数()lnf x k x x=-，则()()f a f b=．由()1kf xx'=-得()0f k'=，且()f x在()0,k 上，在(),k+∞上，x k=为()f x的极大值点．对数平2a bk+<<，等价于22a b kab k+>⎧⎨<⎩，这是两个常规的极值点偏移问题，留给读者尝试．证法2（比值代换）令1atb=>，则()()11ln ln2ln2b t b ta b a ba b t-+-+<<⇔<-()2111lnln21tt ttt t--+⇔<<⇔<<+，构造函数可证．证法3（主元法）不妨设a b>，ln ln ln ln0ln lna ba b a ba b-<⇔-<⇔-<-．记()ln lnf a a b=-，(),a b∈+∞，则()21f aa'==<，得()f a 在(),b+∞上，有()()0f a f b<=，左边得证，右边同理可证．证法4（积分形式的柯西不等式）不妨设a b>，则由()()()()2ln ln ln22ln ln lne e1a a ax xb b bdx dx dx<⎰⎰⎰得()()()2221ln ln2b a a b a b-<--，ln ln2a b a ba b-+<-；由()222111a a ab b bdx dx dxx x⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰得()()211ln lna b a bb a⎛⎫-<--⎪⎝⎭，ln lna ba b-<-．证法5（几何图示法）过()1f xx=上点2,2a ba b+⎛⎫⎪+⎝⎭作切线，由曲边梯形面积，大于直角梯形面积，可得()11ln ln2aba b dx a ba b x-⋅<=-+⎰，即ln ln2a b a ba b-+<-；如上右图，由直角梯形面积大于曲边梯形面积，可得1dxx=<⎪⎪⎝⎭ln lna ba b-<-．由对数平均不等式的证法1、2即可看出，它与极值点偏移问题间千丝万缕的联系，下面就用对数平均不等式再解前面举过的例题．再解例1：()()12f x f x=即1212e ex xx x--=，1122ln lnx x x x-=-，则12121ln lnx xx x-=-（正数1x ，2x 的对数平均数为1）1212x x +<<，得121x x <，且122x x +>．再解例2：()()()22e 10x f x x a x =-+-=即()()22e 10x x a x -=->；由()()120f x f x ==得()()()()122112222e 12e 1x x x a x x a x ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，两式相减得 ()()()()121212122e 2e 2x xx x a x x x x ---=-+-，下面用反证法证明122x x +<．若122x x +≥，则()()12122e 2e 0x x x x ---≤，()()12122e 2e x xx x -≤-，取对数得()()1122ln 2ln 2x x x x -+≤-+，则()()21121ln 2ln 2x x x x -≥---．而由对数平均不等式得()()()()()()()()121221121212222221ln 2ln 2ln 2ln 222x x x x x x x x x x x x ----+--+=<=-≤------，矛盾．再解例3：由1122ln ln x x x x m ==得11ln m x x =，22ln mx x = 1212121212ln ln ln ln ln ln ln ln m mx x x x mx x x x x x --==---； ()12121212ln ln ln ln ln ln m x x m mx x x x x x ++=+=． 由对数平均不等式得()()12121212ln ln 0,ln 0,ln 0ln ln 2ln ln m x x mm x x x x x x +-<<<<+，()12122ln ln ln x x x x ->+=，得1221e x x <． 再解练习1：由1122ln ln x ax x ax -=-得1212110ln ln e x x a x x a -⎛⎫=<< ⎪-⎝⎭，则1212x xa +<，得1222ex x a +>>； ()2121212122e ln ln 22x x x x a x x x x a>⇔+>⇔+>⇔+>，已证． 再解例4：同例1，不再详述． 再解例5：同例1得到121x x <，则12112x x +>>． 再解例7（2）：易得()1ln 1ln ln ln 0,1a b a b a b a b ++-==∈-，则1ln ln a b a b->-，则12a b+>，2a b +>． 再解例8：11222ln 2ln x ax x ax -=-，()()12122ln ln x x a x x -=-，得12122ln ln x x x x a -=-，则1222x x a +>，124x x a +>，()121224262x x x x x a a a+=++>+=．再解练习2：原题结论抄写有误，应更正为0f '<．()0f x =即()()2e 1e x a x a =->，()ln ln 1x a x =+-，则 ()()1122ln ln 1 ln ln 1 x a x x a x =+-⎧⎨=+-⎩①② ①－②得()()()()12121211ln 1ln 1x x x x x x -=---=---，则()()()()1212111ln 1ln 1x x x x ---=---（正数11x -，21x -的对数平均数为1）．()()121112x x -+-<<，得()()12111x x --<，且124x x +>．①＋②得()()12122ln ln 112ln x x a x x a +=+--<12ln 2x x a +<<，由此可得0f '<．解练习3：选项D ：()()12f x f x =即121222ln ln x x x x +=+，则()12122112222ln ln x x x x x x x x --=-=，121212ln ln 2x x x x x x -=-，所以121212442x x x x x x <⇒>⇒+>>． 顺带地，也有()()1212111212121111122x x x x x x x x x x x x +<⇒<+⇔--<⇔+>． 极值点偏移问题，多与指数函数或对数函数有关，解题的关键有以下几步： （1）根据()()120f x f x ==建立等量关系；（2）等量关系中如果含有参数，可考虑消参；如果含有指数式，可考虑两边取对数； （3）通过恒等变形转化出对数平均数（的值或仍用1x ，2x 表示），代入对数平均不等式求解．细心的读者不难发现，用对数平均不等式来解极值点偏移问题的方法也有局限性，也不是万能的（再解过程中漏掉了例6），其中能否简洁地表示出对数平均数是关键中的关键，最后再举一例． 例10设函数()()2ln 2f x x ax a x =-+-的两个零点是1x ，2x ，求证：1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭． 证法1：首先易知0a >，且()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，在1a ⎛⎫∞⎪⎝⎭上，不妨设1210x x a <<<，121212201022x x x x f a x x a ++⎛⎫'<⇔⋅->⇔+> ⎪⎝⎭，构造函数()()2F x f x f x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭可证．证法2：由题意得()()21112222ln 20ln 20x ax a x x ax a x ⎧-+-=⎨-+-=⎩，两式相减得 ()()()()12121212ln ln 20x x a x x x x a x x --+-+--=， ()()()121212ln ln 2x x x x a x x a -=-++-，()12121210ln ln 2x x x x a x x a -=>-++-，所以()()()()212121212122012x x a x x a x x a x x a +<⇒++-+->++-()()()12121212221002x x a x x x x x x f a +⎛⎫'⇒+-++>⇒+>⇒< ⎪⎝⎭． 这或许是史上最全的极值点偏移系列文章1、极值点偏移问题专题一——偏移新花样—拐点偏移PK 极值点偏移常规套路2、极值点偏移问题专题二——如何选择合理的函数3、极值点偏移问题专题三——变更结论处理偏移4、极值点偏移问题专题四——比值代换齐次消元5、极值点偏移问题专题五——对数平均显神威6、极值点偏移问题专题六——本质回归泰勒展开7、极值点偏移问题专题七——历年精选一题多解23例其他相关文章8、利用对数平均不等式处理极值点偏移压轴难题 9、一题学懂极值点偏移五大处理套路来源： 数学教师教研QQ 群54543319。