5
4. （7分）弹性力学空间轴对称问题的有限元计算列式与平面 问题的有限元计算列式的主要相似之处？
答：
相似之处是：均是二维问题，单元自由度数相同，如他们的 三角形3节点单元位移模式相同； 区别之处是：平面问题应力和应变分量是3个，空间轴对称 问题应力和应变分量是4个； 求解刚度矩阵和等效结点力的积分，平面问题是在有厚度的 单元平面上积分，而轴对称问题是在整个环体上积分。即平 面单元指有厚度的面，轴对称单元指一个轴对称的旋转体。
1
N2 2p
（拉力） 。(完)
17
18
练习２：已知 m、EI、a、求支座反力。 写出整体刚度方程即可
解：（１）划分单元，给节点编号 （２）单元分析
1 12 i 1 a2 6i a 12 i 3 a2 6i a
3 12 i 3 a2 6i a 12 i 2 2 a 6i a 6i a 4i 6i a 2i
1 0 1 0
0 0 0 0
令
EA a
i1
cos sin T 0 0
K
①
sin cos 0 0
①
0 0 cos sin
0 I sin cos 0
1.（10分）线弹性力学静力问题有限元法计算列式的推导是 如何采用弹性力学问题基本方程？ 答：弹性力学有限元的基本过程是： 1. 假设单元的位移场模式 2. 代入到几何方程得到 3. 代入到物理方程得到
{ f } [ N ]{ e }
e
{ } [ B ]{ }
{ } [ D ][ B ]{ }
0 1 0 1
，
0 0 0 0
aE 0 h 2
0 1 0 1
2 4
E0 A a
0 . 05 E 0
已知：u 2
u 3 v 3 v1 u 4 v 4 0
15
组 0 .5
0 .5 1 .5
k
jm
E0h 1 2 0
0 .5 0 .5
k mm
E 0 h 1 2 0
0 .5 0 0 .5 0 .5 0 0 .5
0 0 .5
1
0 .5 0 aE 0 h 0 . 5 1 k 2 0 .5 0 0 .5 0 1 0 1 0 0
d 4,
题3 图
M 2 ( d 1) 10 v4 0
题3图. 三角形结构网 格
B
（3）u 1
u4 0
； v1
4
4
7 6
15
11
3
1
2
10 5
13 15
9 12 14
题3图
答： （2） d=4 , B=2(d+1)=10 (3) u 1 u 15 v 1 v 15 0
bm 1 cm 0
k ii
E 0 h 0 .5 2 0
0 1
k ij
E 0 h 0 .5 2 0
0 .5 1
k im
E 0 h 0 2 0
0 .5 0
13
k
jj
E 0 h 1 . 5 2 0 .5
3 6i a 4i 6i a 2i 12 i a 6i
2
Y1① ① M 1 ① Y 3 ① M 3
a 12 i a
2
6i a
2
6i a v1 2 i 1 6i v 3 a 3 4i
l
，
质量密度 ，弹性模量 E 。仅考虑沿轴向振动，采用2个杆
试求： （1）阶梯形杆轴向振动的整体一致质量矩阵和刚度矩阵； （2）引入已知位移，求系统振动的固有频率。
A1 2 A
A2 A
解： 1 （1）单元的一致质量矩阵和 刚阵
u1 1
2
u2 2
3
u3
l
题6图
l
8
m
1
2 l 2 6 1
1
1
2
3
2
a
x
P
题7图
12
解： （1）．结构整体等效结点力 结点 1
F （1 0 0
2
1 0
3
0 0
4
0） p
T
a （2）．长度因子： 略写
单元1： 0 . 5 ,
bi y j y m 0 , c i x j x m 1,
b j 1, c j 1,
E2
， E 0 。载荷及约束信息如图示，自重不计。试采用图示的
a
y
1m
，截面积
1个三角形常应变元和1个平面杆元求： （1）结构整体的等效结点力列阵； （2）采用划行划列法引入已知结 点位移，计算出结点1和2的 a 位移； （3）杆件中内力。 i j m 单元2： 1 3 2 单元1： 2 4
4
1 12 i 2 a 6i Y1 1 a M 1 0 Y 2 2 M 2 0 Y 3 3 12 i M 3 a2 6i a 6i a 4i 0 0 6i a 2i 0 12 i a 6i
2
2 0 0 0 6i a 4i 6i a 2i 12 i a
2
3 12 i a 6i
2
a 12 i a 6i a 12 i a 6i a
2 2
a 12 i a 6i a
2
6i a

a 0 2i 0 6i 0 a 2i 2 v3 6i 6i a a 3 4i 4i 6i
3
0 .5 0 1 .5 0 .5 1 0 .5 1 0 .5 1 .5 0
2
0 .5 0 0 1 0 1 0
0 .5
1 3 2
14
2
4
k
2
0 E0 A 0 a 0 0
0 . 01 E 0
6
5. （8分）结构振动问题有限元离散的无阻尼自由振动方程为
(K
2
M )Φ 0
M 式中 K n n 是刚度矩阵， n n 是质量矩阵， 是结构固有频率，
Φ
是振型向量。
n 试问为什么从上式求出的特征对< i , Φ i > ( i 1, 2 , ,)中， 只有前若干低阶频率和相应振型是可靠的，误差较小。
1 2
m
2

l 2
6 1
1 2
k
1
2E 1 l 1
1 1
k
2

E 1
l 1
1 1
整体一致质量矩阵和刚阵
4 l M 2 6 0 2 6 1 0 1 2 2 E K 2 l 0 2 3 1 0 1 1
Y 3② ② M 3 ② Y 2 ② M 2

12 i a 6i
2
a 12 i a
2
6i a
6i a v3 2 i 3 6i v 2 a 2 4i
(1)节点分析——对号入座 它不能直接入座
9
2） 因为节点3固结， u 3 在
K M 0
0
；
中划去第3行和第3列，系统振动的特
征方程为：
AE 2 K M l 2 2 Al 4 3 6 2 2 0 6
令
2 2 2
l
3E
2
，

2
3. （10分）图示弹性力学平面问题，采用三角形常应变元，网格 划分如图，试求： （1）对图中网格进行结点编号，并使其系统总刚度矩阵的带 宽最小； （2）计算在你的结点编号下的系统刚度矩阵的半带宽； （3）给出约束节点自由度的已知位移信息。
3
p
10 8 5
1
1
6
y
9
7
9
x
6
3
8
7
5
2
2
4
3
4
解： （2）
83 6 5
3 . 07 2
3 2
E
l
2
3 . 0346
E
l
2
11
7. (25分)图示等腰直三角形薄板和一根杆件相铰连。三角板厚度
h 0 .1m
p
，边长 a
1m
，
0, E1 E 0
(
E0
已知)，受集中力
A 0 . 01 m
2
作用。杆件沿 y 轴方向，长为 a
解：方法１：１）划分单元，给节点编号 ２）单元分析 ①单元：
0 , cos 1, sin 0
1 0 1 0 0 1 0 0 i 1 1 0 0 0
K
①
1 EA 0 a 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Ni 0
；
Ni 1
。
2）位移模式必须能反映单元的刚体位移； 位移模式必须能反映单元的常量应变； 位移模式尽可能反映单元之间位移的连续性。
2
3）在有限单元法中最普遍采用的是等参变换，即单元几何形 状的变换和单元内的场函数采用相同数目的节点参数及相 同的插值函数进行变换。采用等参变换的单元称之为等参 元。所谓“等参元”是指几何形状插值形函数和单元上的 位移插值形函数相同，参数个数相等。 相邻等参元之间，位移场是连续的，应力场不连续。