九年级数学竞赛专题讲座 ---二次函数的最值问题一、内容概述对二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，若自变量为任意实数，则取最值情况为：（1）当0,2ba x a>=-时，244ac b y a -=最小值（2）当0,2ba x a<=-时，244ac b y a -=最大值若自变量x 的取值范围为()x αβαβ≤≤≠，则取最值分0a >和0a <两种情况，由α、β与2b a-的大小关系确定。

1．对于0a >：（1）当2baαβ<≤-，因为对称轴左侧y 随x 的增大而减小，所以y 的最大值为()y α，最小值为()y β。

这里()y α、()y β分别是y 在x α=与x β=时的函数值。

（2）当2baαβ-≤≤，因为对称轴右侧y 随x 的增大而增大，所以y 的最大值为()y β，最小值为()y α。

（3）当2b a αβ≤-≤，y 的最大值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最小值为()2by a-.2．对于0a <（1）当2baαβ<≤-，y 的最大值为()y β，最小值为()y α。

（2）当2baαβ-≤≤，y 的最大值为()y α，最小值为()y β。

（3）当2b a αβ≤-≤，y 的最小值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最大值为()2by a-.综上所述，求函数的最大、最小值，需比较三个函数值：()y α、()y β、()2by a-二、例题解析例1 已知12,x x 是方程22(2)(35)0x k x k k --+++=的两个实数根，求2212x x +的最大值和最小值。

解：由于题给出的二次方程有实根，所以0∆≥，解得443k -≤≤-∴y ＝2212x x +＝21212()2x x x x +-＝2106k k ---∵函数y 在443k -≤≤-随着k 的增大而减小 ∴当4k =-时，8y =最大值；当43k =-时，509y =最小值例2 （1）求函数243y x x =--在区间25x -≤≤中的最大值和最小值。

（2）已知：1y ≤，且21x y +=，求222163x x y ++的最小值。

解 （1）若240,2,x x -≥≥即则234y x x =-- ∴2325()24y x =--若240,2,x x -≤≤即则234y x x =--+ ∴2325()24y x =-++由此在25x -≤≤画出草图∴2325()24y x =--（25x ≤≤），当5x =时，6y =最大值；当2x =时，6y =最小值－ 对2325()24y x =-++（22x -≤≤），当32x =－时，254y =最大值；2x =时，6y =最小值－综上所述，2x =时，6y =最小值－；当32x =－时，254y =最大值.（2）由21x y +=得12yx -=，12y x =-由1y ≤ 得11x -≤≤ 故01x ≤≤∴22221192163144314()77z x x y x x x =++=++=++z 为开口向上，对称轴为17x =－的抛物线，虽然有最小值197，但17x =－不在01x ≤≤的范围内，因此不是所求的最值。

又0x =时，3z =；1x =时，21z = ∴所求的最小值为3例3 有两条抛物线223,9y x x y x =-=-+，通过点(,0)P t 且平行于y 轴的直线，分别交这两条抛物线于点A 和B ，当t 在0到3的范围内变化时，求线段AB 的最大值。

解：∵A 和B 的纵坐标分别为223,9t t t --+，∴AB =2222381(9)(3)2392()48t t t t t t -+--=-++=--+ ∴当34t =时，线段AB 取得最大值818例4 已知二次函数22962y x ax a a =---+11()33x -≤≤有最大值－3，求实数a 的值。

分析：本题是关于二次函数最值的“逆向问题”，由题设知，二次函数22962y x ax a a =---+的对称轴是3a x =-，而x 的取值范围是1133x -≤≤，所以要对3a -是否在x 的取值范围内讨论求解。

解：（1）若11333a -≤-≤，即11a -≤≤，抛物线开口向下，当3ax =-时，2y a =最大值∵二次函数最大值3-，即32a =-与11a -≤≤矛盾，舍去。

（2）若1,133a a -<->即当1133x -≤≤时，y 随x 增大而减小，当13x =-时，241y a a =-+-最大值，由2413,2a a a -+-=-=解得又1a >，∴2a =（3）若1,133a a -><-即 当1133x -≤≤时，y 随x 增大而增大，当13x =时，21y a =--最大值，由213,2a a --=-=±解得又1a <-，∴2a =-综上所述，26a =+或2a =-例5 在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点，试在二次函数2910105x x y =-+的图像上找出满足y x ≤的所有整点(),x y ，并说明理由。

解：∵y x ≤，即21810x x x -+≤ ∴21810x x x -+≤ ①当0x ≥时，①式即为21810x x x -+≤，解得29x ≤≤ 此时，满足条件的点有()()()()2,2,4,3,7,6,9,9 当0x <时，21810x x x -+≤-，解得63x -≤≤- 此时满足条件的点有()()6,6,3,3-- 综上所述，满足条件的整点，共有6个。

例6求分式22365112x x x x +++＋的最小值解：令2223652612212x x y x x x x +==-++++＋，问题转化为考虑函数222z x x =++的最小值。

∵2222(1)1z x x x =++=++ ∴当1x =-时，min 1z =，min 4y =例7已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1.试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积。

解：设矩形PNDM 的边DN=x ,NP=y ，于是矩形PNDM 的面积S xy =，24x ≤≤易知CN ＝4x -, EM ＝4y -，且有NP BC BF CN AF -=,即3142y x -=-所以152y x =-+，2152S xy x x ==-+,24x ≤≤ 所有根据二次函数的性质可得当4x =时max 12S =例7二次函数的最值问题训练题班级 姓名 学号1．填空（1）已知函数211(03)22y x x x =-++≤≤，当x =________时，y 取最大值是______；当x =________时，y 取最小值是______.（2）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的开口向上，对称轴是直线2x =，当1230,3x x x ==，对应的值y 分别是1y 、2y 、3y ，则1y 、2y 、3y 的大小关系是_________.（3）函数24)y x =≤≤的最大值与最小值分别是___________.（4）已知二次函数22y x x a =++（01x ≤≤）的最大值是3，那么a 的值为__________. 2．设x 为正整数，则函数21y x x x=-+的最小值是多少？3．已知：01x ≤≤，函数22ay x ax =-+的最小值为m ，试求m 的最大值。

4．对于任意实数x ，不等式210kx kx --<恒成立，求k 的取值范围。

5．如图，半径为1的半圆内接等腰梯形，其下底是半圆的直径，试求：（1）它的周长y 与腰长x 之间的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围。

（26．已知实数a 、b 满足等式()2223a b -+=，求：ba的最大值和最小值。

7．已知：方程222(1)212170x k x k k --+-+=，两根为1x 、2x ，求2212x x +的最大值与最小值，并求此时方程的根。

8．根据某服装店统计，服装价格每提高3％，出售服装的件数就要降低2％，设某种服装提价x%，结果每天的经营收入（价格×出售价数）为原来的y 倍，（1）写出y 与x 的函数关系；（2）要使经营收入不降低，x 应控制在什么范围内？ （3）当x 是什么值时，能使经营收入最多？9．求函数222121x ax y x bx ++=++的最值。

参考答案1．(1)x=1,y=1,x=3,y=-1;(2) 231y y y <<;（3）最大值与最小值分别为：2，0；（4）a=0； 2．1；3．a ＝0时，m 有最大值0；a ＝1时，m 有最大值0.25；a ＝2时，m 有最大值0 4．－4<k ≤0;(2)x=1时，周长最大为56．当1,22a b =-=-时，b a 取得最小值1,22a b ==时，b a7．k=8时，最大值为98，方程为214490x x -+=，两根为7；k ＝2时，最小值为2，方程为2210x x -+=，两根为1。

8．（1）(1)(1)100150x xy =+- （2）0≤x ≤50 （3）当x=25时，最多。

9．解：把222121x ax y x bx ++=++化为关于x 的二次方程()212()(1)0y x a by x y -+-+-=，要使这个方程有实数根，则根据222(1)2(1)10b y ab y a ∆=---+-≥① 210b ->，即1b >，∴1,22(1)1ab a b y b -±-=-，∴2(1)1ab a b y b ---≤-或2(1)1ab a b y b -+-≥- ∴2(1)1ab a b y b ---=-极大值，2(1)1ab a by b -+-=-极小值②210b -<，即1b <，则有 22(1)(1)11ab a b ab a b y b b -+----≤≤-- ∴2(1)1ab a b y b ---=-极大值，2(1)1ab a by b -+-=-极小值 ③210b -=，即1b =，得()2112a ab y --≤2112(1)a ab y ab ->≤-时，，∴212(1)a y ab -=-极大值2112(1)a ab y ab -<≥-时，，∴212(1)a y ab -=-极小值。